Законы теплового излучения и абсолютно черное тело

Раздел II. Цветовая температура

 

Спектральный состав используемых при проведении видео-, кино- и фотосъемок источников света имеет важнейшее значение, так как он определяет энергетические соотношения во всем диапазоне длин волн и доминирующую окраску излучаемого света. Эталоном для определения спектрального состава излучения является абсолютно черное тело (полный излучатель, излучатель Планка). В результате исследований спектрального состава источников света были получены точные и относительно простые соотношения для АЧТ, испускающего лучистую энергию, интенсивность и длина волны которой зависят только от температуры тела, а не от вещества из которого оно состоит. На всех длинах волн независимо от температуры коэффициент поглощения АЧТ a=1. Поэтому АЧТ является обобщенной моделью излучателя, которая описывается соответствующими законами, и, несмотря на то, что в природе такого источника света не существует, эти законы применимы для определения соотношений энергетических составляющих в реальных источниках света.

2.1 Тепловое излучение

Спектральный состав связан со степенью нагрева тел, поэтому за основу выражения спектральной характеристики света принято тепловое излучение, при котором в видимый свет превращается 3…10% полного излучения. Тепловое излучение имеет сплошной спектр электромагнитных волн и характеризуется температурой нагрева, которая измеряется в градусах Кельвина. Шкала Кельвина – это международный стандарт для измерения термодинамической температуры Т, названный по имени английского физика Уильяма Томсона, лорда Кельвина (1824-1907). Она отсчитывается от абсолютного нуля – теоретической температуры, при которой прекращается любое движение молекул, а значит и выделение тепла, так как тепловое излучение возникает в результате движения колебательного или вращательного движения молекул и атомов излучающего тела. Ноль градусов по шкале Кельвина (0 К) соответствует -273,15 градусам Цельсия.

При нагревании тел видимое глазом темно-красное свечение в ближней инфракрасной области спектра возникает примерно при 800К. Дальнейшее нагревание приводит к последовательному появлению красных, оранжевых, желтых, зеленых, синих лучей и смещению максимума излучения из инфракрасной области в видимую (зона 380…780нм) и далее, в сторону более коротких длин волн (рис.1).

При достижении предельной температуры начинается испарение тела. Самую высокую температуру испарения имеет вольфрам, именно поэтому его и применяют в качестве нити накаливания в лампах. Спектральный состав света, излучаемого реальным источником, зависит не только от температуры нагрева тела, но и от его физических свойств.

 

Рис.1. Спектральное распределение лучистой энергии W_e теплового излучателя (AЧТ) при разной температуре нагрева.

 

Среди известных материалов нет ни одного, который достаточно хорошо удовлетворял бы условию a=1 на всех длинах волн независимо от температуры. Например, черная сажа все же отражает в видимой области спектра несколько процентов от падающего излучения, а в инфракрасной области оказывается хорошо прозрачной. Черный бархат отражает доли процента видимого света и значительно больше инфракрасных лучей.

Моделью АЧТ может служить небольшое отверстие в достаточно большой и замкнутой со всех сторон полости (рис.2). Такое отверстие наиболее полно поглощает все падающие лучи: падающий на него пучок лучей свободно входит внутрь полости и частично поглощается ее стенкой уже при первом отражении. Отраженная часть энергии снова падает на стенки той же полости и частично поглощается и т.д. Если полость достаточно велика, то коэффициент поглощения становится близок к единице. Если стенка этой полости имеет во всех точках постоянную температуру Т, то внутри нее создается термодинамическое равновесие. Отступление от идеальных условий состоит в том, что через малое отверстие в оболочке полости будет происходить "утечка" незначительной доли общего излучения. Поэтому подобное отверстие, поглощает практически все падающие на него излучения и является источником, воспроизводящим излучение абсолютно черного тела.

Рис.2. Схема поглощения лучистого потока F_e в модели АЧТ

 

Один из основных законов теплового излучения является закон Кирхгофа. Немецкий физик Г.Р. Кирхгоф установил его в1859 г., и согласно этому закону отношение плотностей излучения тел (R) с одинаковой температурой равно отношению коэффициентов поглощения (a):

R₁/R₂=a₁/a₂.

Закон Кирхгофа можно записать и в другом виде:

R₁/a₁= R₂/a₂= R₃/a₃=…=R_n/a_n= R_S ,

 

где R_S – плотность излучения абсолютно черного тела, поглощающего все падающие на него лучи (a=1).

Поэтому закон Кирхгофа можно сформулировать так: отношение плотности лучистого потока к коэффициенту поглощения для всех тел, имеющих одинаковую температуру, постоянно.

Для однородных лучистых потоков закон Кирхгофа можно представить следующим образом:

R₁(lT)/a₁(lT)=R₂(lT)/a₂(lT)=R₃(lT)/a₃lT)…=R_n(lT)/a_n(lT)=R_S(lT),

где R₁(lT)…R_n(lT) – спектральные плотности излучения каждого излучателя в зависимости от длины волны l и температуры Т;

a₁(lT)…a_n(lT) – спектральные коэффициенты поглощения каждого излучателя в зависимости от длины волны l и температуры Т;

R_S(lT) – функция спектральной плотности излучения абсолютно черного тела.

 

Из закона Кирхгофа для однородных излучений можно сделать следующие выводы:

1. Отношение спектральной плотности лучистого потока теплового излучения к спектральному коэффициенту поглощения для всех тел одинаково и является функцией длины волны и температуры.

2. Плотность лучистого потока теплового излучения любого реального тела в любой области спектра может быть больше плотности лучистого потока излучения абсолютно черного тела в той же области спектра и при той же температуре.

Зависимость между спектральной плотностью лучистого потока, длиной волны и температурой абсолютно черного тела впервые вывел немецкий физик М. Планк в 1900 г. Эта зависимость была названа формулой Планка:

R_S(lT)=С₁l^-5´1/(e ^C2^/(lT) -1),

где R_S(lT) – спектральная плотность лучистого потока, Вт×м^-2×мкм^-1; l – длина волны, мкм; Т – температура, К; e=2,71828 … – основание натуральных логарифмов, полученное из выражения e=lim(1+n^-1)ⁿ при n®¥.

Значения постоянных С₁ и С₂ в формуле Планка равны:

C₁=2phс²=3,74×10^-16 Вт×м², C₂=hc/k=1,43×10^-2 м×К,

где h=6,624×10^-20 Дж×с – постоянная Планка; с – скорость света, равная 2,998×10⁸ м/с;

k – постоянная Больцмана, равная 1,380662×10^-23 Дж/К.

Из формулы Планка можно получить законы смещения Вина и Cтефана–Больцмана.

1. Продифференцировав уравнение Планка по l и приравняв первую производную нулю, после преобразования получим:

l_maxT=2896 мкм×К,

где l_max – длина волны, соответствующая максимуму кривой спектральной плотности лучистого потока, мкм; Т – температура, К.

Это уравнение называется законом смещения Вина, он был открыт немецким физиком В. Вином в 1893 г. и формулируется так: длина волны, соответствующая максимуму излучения АЧТ, обратно пропорциональна его температуре. Следовательно, при повышении температуры АЧТ максимум мощности излучения смещается, проходя через видимую область спектра, в сторону коротких длин волн. Приведенные ниже, в таблице 1, данные иллюстрируют смещение расчетного максимума спектра АЧТ с 1448 нм до 322 нм:

Таблица 1. Максимумы спектра АЧТ при разных температурах нагрева

 

Т, К
l, нм

 

2. Проинтегрировав уравнение Планка в пределах l от 0 до ¥, после преобразования получим:

М_е=sТ⁴ Вт×м^-2,

где М_е=F_e/S – суммарный лучистый поток АЧТ с 1 м² поверхности (энергетическая светимость, излучательность), Вт×м^-2; Т –температура абсолютно черного тела, К; s – постоянный множитель, равный 5,67032×10^-8 Вт×м^-2×К^-4.

Данную зависимость эмпирически установил австрийский физик Й. Стефан в 1879 г., а в 1884 г. теоретически вывел Л. Больцман. Поэтому это уравнение называется законом Стефана–Больцмана, который формулируется следующим образом: суммарный лучистый поток АЧТ пропорционален четвертой степени абсолютной температуры.

Таковы основные соотношения, в рамках которых и смоделировано абсолютно черное тело.

Для оценки эффективности теплового излучения используются различные коэффициенты полезного действия (к.п.д.):

1. Энергетический к. п. д. h_э – отношение лучистого потока, излучаемого в пределах видимой части спектра, ко всему излучаемому лучистому потоку.

2. К.п.д видимого излучения h_в – отношение светового потока в световых ваттах к лучистому потоку, излучаемому в пределах видимого спектра.

3. Световой к.п.д. h_с – отношение излучаемого источником светового потока в световых ваттах ко всему излучаемому лучистому потоку.

Максимальные величины h_э, h_в, h_с и соответствующие им температуры имеют следующие значения: h_{э (max)} =39,4% при 7000К; h_{в (max)} =38,0% при 4250К; h _{c (max)} =14,5% при 6500К.

Температура плавления тугоплавких металлов (например, вольфрама), из которых изготавливаются нити накаливания в реальных излучателях, значительно ниже 6500К. Поэтому их световой к.п.д. меньше, чем у АЧТ и не превышает 2…З %.

Экономичность реальных источников света измеряется расходом электрической мощности в ваттах на каждый люмен созданного ими светового потока и характеризуется световой отдачей:

h=F/F_e, лм/Вт.

Поэтому, если бы удалось создать источник, излучающий монохроматический (желто-зеленый) свет с длиной волны 555 нм, то каждый ватт затраченной в нем мощности дал бы световой поток 683 лм (1 световой ватт). Это был бы идеальный источник света с к.п.д. (световым, энергетическим и видимого излучения) h_э=h_в=h_с=1 или 100% при световой отдаче h=683 лм/Вт. Однако подобного источника света не существует, да и пользоваться им было бы неудобно из-за специфического цвета излучения. Реальные источники света имеют весьма низкие световые к.п.д. и световую отдачу (см. табл. 1.3.4.)

Значения световой отдачи АЧТ при различных температурах приведены в таблице 2.

 

Таблица 2. Световая отдача АЧТ при различных температурах нагрева

 

Т, К
h, лм/Вт	0,004	1,61	20,3	36,6	53,2	78,3	89,0	89,3	82,7

 

Для абсолютно черного тела при Т=6600К световая отдача будет максимальной и равной 89,3 лм/Вт. Из известных искусственных источников света наибольшую светоотдачу имеют металлогалогенные лампы (до 110 лм/Вт), что достигается за счет увеличения светового потока при одновременном снижении мощности в инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра.

Для оценки излучения металлов используют величину, которая называется спектральным коэффициентом излучения и представляет собой отношение спектральной интенсивности лучистого потока тела (металла) к спектральной интенсивности лучистого потока АЧТ при тех же температуре и длине волны. Установлено, что большинство металлов имеет селективное излучение, т.е. их спектральный коэффициент излучения всегда меньше единицы и является функцией длины волны и температуры.

С возрастанием температуры спектральные коэффициенты излучения всех металлов увеличиваются, а селективность их излучения уменьшается. При очень высоких температурах (близких к значениям температуры плавления) спектр излучения металлов приближается к спектру излучения АЧТ.

Среди металлов, пригодных для изготовления нитей накаливания для источников света, наибольший интерес представляет вольфрам. Он является самым тугоплавким металлом (температура плавления З660К) и путем протяжки из него можно получать нити любого диаметра.

На рис.3 представлены кривые зависимости спектрального распределения лучистого потока АЧТ при Т=2450К и Т=2500К и вольфрама (лампа с вольфрамовой нитью накаливания) от длины волны излучения при температуре Т=2450К.

 

Рис.3. Спектральное распределение лучистого потока F_e АЧТ и вольфрама.

 

Как видно из графика, при 2450К вольфрам излучает слабее, чем АЧТ, но зато максимум его кривой спектральной интенсивности лучистого потока смещен в сторону видимых излучений. Такое смещение является чрезвычайно ценным свойством вольфрама, так как при любой температуре ниже температуры плавления его световая эффективность будет выше, чем у АЧТ.