Происхождение математических аксиом

4. Такое отношение наших произвольных движений к измерению движений внешнего мира объясняет нам также очень хорошо, откуда происходит та особенная ясность математических аксиом, которая побудила многих мыслителей и психологов признать эти аксиомы врожденными душе. Самому тупому ребенку не нужно объяснять, что часть меньше своего целого, что две величины, порознь равные третьей, равны между собою, что прямая линия есть кратчайшая между двумя точками, что двумя прямыми линиями нельзя ограничить пространства, что две параллельные никогда не пересекутся, что две прямые могут пересечь одна другую только в одной точке и т. д. Если ребенок не понимает вас, то это значит, что он только не понимает значения слов, употребляемых вами; но как только поймет он это значение, так и убедится в истине того, что вы ему говорите, так что этих истин не нужно, да и нельзя доказывать: истинность их очевидна сама собою. Все же остальные алгебраические и геометрические теоремы приводятся к этим очевидным истинам посредством тех же самых очевидных истин. Но откуда же происходит эта очевидность математических аксиом? Ответами на этот вопрос и спорами по этому поводу можно было бы наполнить целые тома. При нашей же точке зрения на постижение душою математических ассоциаций он разрешается сам собою.

5. Все представления наши, как это мы видели уже выше, совершаются не иначе, как в форме нервных движений; но все движения, будет ли это вибрация нервов или движение планеты, совершаются по одним и тем же законам - законам движения материи в пространстве и времени. Представляя что-нибудь, душа наша приводит нервы в движение; но эти движения нервов совершаются так же не иначе, как по общим законам движения тел в пространстве и времени. Следовательно, хотя душа наша, по врожденному ей произволу, движет нервами, но в этих движениях подчиняется вообще законам материальных движений, излагаемых математикою. Вот почему мы не можем представить себе ничего такого,, что противно этим законам: нервы наши не выполняют этих представлений по невозможности, потому что они выполняют представления только движениями, а движутся только по законам движения, общим всему материальному. Ни мускульные движения глаз, ни движения других мускулов и нервов не могут представить нам части больше своего целого, двух прямых линий, пересекающихся в двух точках, пространства, ограниченного двумя прямыми, и т. д. Эта-то физическая невозможность и отражается в нашем сознании тою особенною ясностью, которая сопровождает всегда акт сознавания нами геометрических аксиом; это не более, как чувство совершенного бессилия нервов и мускулов выполнить противоположное представление. Если нам, по-видимому, это удается иногда, то это только потому, что мы не ясно, не ярко себе представляем - потому что мы мысленно произносим слова, но не представляем того, что в них заключается; но как только мы ясно представим себе, т. е. отразим в наших нервах то или другое движение, так и сознаем их истинность, т. е. невозможность противоположных движений. Вот почему мы заключаем об истинности математических аксиом не иначе, как по невозможности противоположного представления. Вот почему в математике все доказательства приводятся к невозможности противоположного представления: самую же эту невозможность доказывать незачем - ее доказывают нервы: они не могут двигаться иначе, как по общим законам движения. На этой невозможности представления антиматематических движений, которую испытывает человек беспрестанно с самого раннего младенчества, при всяком своем произвольном движении и представлении движения, и строится математика. Человек начинает учиться математике, как только начинает двигаться.

6. Здесь мы не можем не обратить внимания читателей на одну странность. Приверженцы материалистического объяснения психических явлений обыкновенно восстают против признания врожденных идей, а идеалисты, наоборот, обыкновенно отстаивают их. Но, в сущности, как идеалисты, так и материалисты могли бы признать врожденные идеи без всякого подрыва своим противоположным взглядам. В самом деле, если стать на точку зрения материалистов и признать мозг существом мыслящим, то самая организация мозга предпишет уже законы мышлению. Если мышление есть не более, как движение частиц, составляющих мозговую массу и так или иначе в ней расположенных, то уже само собою ясно, что это движение может совершаться не иначе, как по общим законам движения, и, кроме того, эти общие законы будут обусловлены особенностями мозговой организации. Эти условия и эти законы и будут врожденными идеями с материалистической точки зрения. Если бы мозг в своих движениях мог сознавать и мыслить, то не иначе, как на основании математических законов движения.