Система счисления — способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.
Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятеричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма). Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2,..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями («арабские цифры»).
Система счисления:
- даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
- отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.
Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.
Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.
1. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.
2. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.
3. Возможность применения алгебры для выполнения логических преобразований. (таблица 1)
4. Двоичная арифметика проще десятичной.
Недостатки двоичной системы счисления:
1. код числа, записанного в двоичной системе счисления, представляет собой последовательность из 0 и 1.
2. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.
3. Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
Таблица 1 - Арифметические действия над двоичными числами
| Правила сложения | Правила вычитания | Правила умножения |
| 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 | 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 | 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 |
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.
Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.
Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:
,
где 
— это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 
Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an – 1 в десятичном представлении x была также ненулевой.
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10 n − 1, то есть, всего 10 n различных чисел.
Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:
где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.
Таблица 2- сложение в десятичной системе счисления
| + | |||||||||||
Таблица 3- умножение в десятичной системе
| × | |||||||||||
Шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 16. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе используется 10 цифр от нуля до девяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и латинские буквы A, B, C, D, E, F, обозначающие числа от 10 до 15.
Таким образом, все символы шестнадцатеричной системы:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
История: шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.
Применение: шестнадцатеричная система используется в цифровой электронике и компьютерной технике, в частности в низкоуровневом программировании на языке ассемблера для различных ЭВМ.
Таблица 4 – сложение в шестнадцатеричной системе.
| + | A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | A | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F | ||||||||||
| 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F |
Таблица 5- Умножение в шестнадцатеричной системе.
| x | A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||||
| A | C | E | 1A | 1C | 1E | ||||||||||||
| C | F | 1B | 1E | 2A | 2D | ||||||||||||
| C | 1C | 2C | 3C | ||||||||||||||
| A | F | 1E | 2D | 3C | 4B | ||||||||||||
| C | 1E | 2A | 3C | 4B | 5A | ||||||||||||
| E | 1C | 2A | 3F | 4D | 5B | ||||||||||||
| 1B | 2D | 3F | 5A | 6C | 7E | ||||||||||||
| A | A | 1E | 3C | 5A | 6E | 8C | A0 | ||||||||||
| B | B | 2C | 4D | 6E | 8F | 9A | A5 | B0 | |||||||||
| C | C | 3C | 6C | 9C | A8 | B4 | C0 | ||||||||||
| D | D | 1A | 4B | 5B | 8F | 9C | A9 | B6 | C3 | D0 | |||||||
| E | E | 1C | 2A | 7E | 8C | 9A | A8 | B6 | C4 | D2 | E0 | ||||||
| F | F | 1E | 2D | 3C | 4B | 5A | A5 | B4 | C3 | D2 | E1 | F0 | |||||
| A0 | B0 | C0 | D0 | E0 | F0 |
Таблица6-Соответствие чисел в различных системах счисления
| Десятичная | Шестнадцатеричная | Двоичная |
| A | ||
| B | ||
| C | ||
| D | ||
| E | ||
| F |
Смешанная система счисления является обобщением b -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел 
и каждое число x представляется как линейная комбинация:
,
где на коэффициент ak (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения.
Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.
В зависимости от вида bk как функции от k смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда bk = bk для некоторого b, показательная смешанная система счисления совпадает с b -ричной системой счисления.
Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению
секунд.
