Системы счисления. Смешанные системы счисления.

Система счисления — способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.

Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятеричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма). Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2,..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями («арабские цифры»).

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.

1. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

2. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

3. Возможность применения алгебры для выполнения логических преобразований. (таблица 1)

4. Двоичная арифметика проще десятичной.

Недостатки двоичной системы счисления:

1. код числа, записанного в двоичной системе счисления, представляет собой последовательность из 0 и 1.

2. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.

3. Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Таблица 1 - Арифметические действия над двоичными числами

Правила сложения	Правила вычитания	Правила умножения
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0	0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_n _{– 1} в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10 ⁿ − 1, то есть, всего 10 ⁿ различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Таблица 2- сложение в десятичной системе счисления

+

Таблица 3- умножение в десятичной системе

×

Шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 16. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе используется 10 цифр от нуля до девяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и латинские буквы A, B, C, D, E, F, обозначающие числа от 10 до 15.

Таким образом, все символы шестнадцатеричной системы:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

История: шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

Применение: шестнадцатеричная система используется в цифровой электронике и компьютерной технике, в частности в низкоуровневом программировании на языке ассемблера для различных ЭВМ.

Таблица 4 – сложение в шестнадцатеричной системе.

Таблица 5- Умножение в шестнадцатеричной системе.

Таблица6-Соответствие чисел в различных системах счисления

Десятичная	Шестнадцатеричная	Двоичная










	A
	B
	C
	D
	E
	F

Смешанная система счисления является обобщением b -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация:

где на коэффициент a_k (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения.

Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида b_k как функции от k смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда b_k = b^k для некоторого b, показательная смешанная система счисления совпадает с b -ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению

секунд.