Лекция 4. Основные теоремы о пределах функции. Асимптотические приближения. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
Основные теоремы о пределах
Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой.
Теорема 1
Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при 
, то предел этой алгебраической суммы при существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Доказательство
Рассмотрим алгебраическую сумму трех функций f(x)+g(x)-h(x), где
, 
, 
.
Так как функции отличаются от своих пределов на бесконечно малые, то получаем
(1), где 
при 
. Из равенств (1), используя теорему об алгебраической сумме бесконечно малых будем иметь
(2), где 
при . Из равенства (2) вытекает, что сумма f(x)+g(x)-h(x) отличается от A+B+C на бесконечно малую функцию и следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем
(3). Теорема доказана.
Следствие
Функция может иметь только один предел при .
Действительно, если 
и ’ при , то на основании теоремы 1 получим 
при . Так как предел постоянной функции равен самой функции и единственен, то имеем A-A’=0, то есть A=A’.
Замечание
В условии теоремы предполагалось, что каждая из функций имеет предел и доказывалось, что их сумма также имеет предел. Обратное в общем случае неверно, то есть из существования предела суммы не следует существование пределов слагаемых.
Пример
, тогда как 
не существует и 
не существует.
Теорема 2
Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при существует и равен произведению пределов сомножителей.
Доказательство
1) Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей f(x)g(x) и пусть , . Имеем 
(4), где 
при . Отсюда получаем 
(5),
где 
(6). Из основных теорем о бесконечно малых (теорема 1,2,3) следует, что 
при . Поэтому на основании равенства (5) будем иметь 
(7)
2) Рассмотрим случай произведения трех функций f(x)g(x)h(x), имеющих конечные пределы при . Используя первую часть доказательства находим 
Следствие 1
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пусть С – постоянная функция,
тогда 
Следствие 2
Если функция f(x) имеет предел при , то предел при целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть
Пример
Лемма
Пусть при . Тогда обратная по величине функция 
ограничена в некоторой окрестности 
точки а.
Доказательство
Положим 
. На основании определения предела функции имеем 
при 
. Отсюда получаем
при . Таким образом, 
Теорема 3
Если функция f(x) имеет предел при , отличный от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, то есть 
(8)
Доказательство
Пусть 
Тогда на основании леммы и учитывая, что произведение ограниченной функции на бесконечно малую функции, есть бесконечно малая функция, будем иметь
при . Отсюда получаем 
Теорема 4
Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть
(9)
Доказательство
Пусть 
. Тогда, используя теорему о пределе произведения (теорема 2) и теорему о пределе обратной величины функции (теорема 3), получим
Пример
Теорема 5
Если функция f(x) имеет предел при и 
(n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то 
(10)