Между суждениями A, E, I, O с одинаковым терминами (с одинаковой материей) существует четыре вида отношений:
1. Отношение подчинения, в котором находятся суждения A и I, E и O. Суждения А и Е – подчиняющие, а суждения I и O подчинённые. Если общее суждение истинно, то истинно одинаковое и ним по материи и качеству чистое, но не наоборот. Например: суждение общее «Все люди смертны» истинно, то истинно будет и частное суждение «Некоторые люди смертны», обратное же не имеет место;
2. Отношение противоречия между суждениями E и I, O и A. Здесь суждения E и I, а также O и A относятся друг к другу как утверждение и отрицание. Поэтому в каждом из этих двух суждений одно является обязательно истинным, а другое 0 обязательно ложным. Например, если суждение «Все вещи имеют имя» (А) истинно, то суждение «Некоторые вещи не имеют имени» (О) будет ложным. И обратно: если суждение (О) истинно, то суждение (А) той же материи будет ложно;
3. Отношение контрарности между суждениями А и Е. В первом из них утверждается определённый вид отношения S к P, а именно, что объём S полностью содержится в P, а во втором, то есть в суждении Е, отрицается как этот вид отношения между S и P, так и отношение перекрещивается между объёмов S и P, то есть отношение противоположности не сводится к отрицанию одного суждения другим. Поэтому противоположные суждения могут быть одновременно ложными. Приведём пример. а) «Все соки представляют собой жидкость» и б) «Ни один сок не является жидкостью». При условии истинности одного суждения (из противоположных (контрарных) суждений) другое обязательство ложно. Другой пример: «Все книги изготовлены из бумаги» (А) и «Ни одна книга не изготовлена из бумаги» (Е). Здесь оба суждения ложны.
Так называемый, «логический квадрат» показывает все рассмотренные отношения между суждениями.
Определённые логические отношения существуют также между суждениями, у которых одинаковые либо только предикаты, либо только субъекты. Если суждения имеют одинаковые предикаты, то между ними существует отношение подчинения, если они имеют одно и то же качество. Например: «Все планеты светят отраженным светом» и «Юпитер светит отраженным светом». Если также суждения имеют разные качества, то они являются противоречивыми. Суждения с одинаковым субъектом противоположны, если противоположными являются их предикаты. Например: «И.Е. Репин – великий художник-реалист» и «И.Е. Репин – заслуженный художник реалист». Оба суждения истинны быть не могут, но оба могут быть ложными.
Если у двух суждений с одинаковым субъектом предикаты – совместимы понятия, то они будут согласными и могут оказаться одновременно как ложными, так и истинными. Например: «Д.И. Менделеев был выдающимся химиком» и «Д.И. Менделеев был выдающимся лектором» являются одновременно истинными. Другой пример: «Математика является главной наукой среди всех наук» и «Математика является второстепенной наукой»; оба суждения ложны.
Между суждениями совершенно разной материи логика никаких отношений указать не можем.
Сложные суждения.
Сложные суждения образуются из простых путем их соединения. Сложные суждения могут быть истинными или ложными, истинность или ложность которых зависит прежде всего от истинности или ложности составляющих его простых и иных суждений.
В сложных суждениях, в отличие от простых, одновременно раскрывается не одна, а несколько связей между предметами мысли. Основными структурообразующими элементами выступают самостоятельные суждения.
Не всякое сложное суждение выражается сложным предложением, но всякое сложное предложение выражает сложное суждение.
Выделяют следующие виды сложных суждений: 1)соединительные (конъюнкция);
2) разделительные (дизъюнкция);
3) условные (импликация);
4) эквивалентные. Конъюнкция – образуется из нескольких простых,
связанных логической связкой «и». Например, «Никто не забыт и ничто не забыто» – А В. (Где А – Никто не забыт; В – ничто не забыто. А и В – члены конъюнкции).
Для конъюнкции свойственна взаимозаменяемость положения членов конъюнкции: А В, или В А.
Дизъюнкция состоит из нескольких простых, связанных логической связкой «или»: А V В.
Выделяют две разновидности разделительного суждения:
1) нестрогую (слабую) дизъюнкцию;
2) строгую (сильную) дизъюнкцию.
Слабая дизъюнкция – объединяемые ею суждения не исключают друг друга, т. е. вместо «или» можно поставить «и» (символ V). Слабая дизъюнкция истинна в тех случаях, когда истинно одно из суждений (или оба), и ложна, когда оба суждения ложны.
Сильная дизъюнкция – образуется логической связкой «либо», и ее составляющие исключают друг друга. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно из суждений истинно, а другое – ложно.
Импликация – суждения объединяются на основе логической связки «если... то», например: «Если будет хорошая погода, то соревнования состоятся».
Эквивалентные суждения – это суждения с взаимной условной зависимостью, выражаемые логической связкой «если и только если..., то...». Например, если и только если человек достиг пенсионного возраста, то он имеет право на получение пенсии по возрасту.
Между сложными суждениями существуют определенные отношения, они могут быть совместимыми и несовместимыми.
Совместимые суждения – это суждения, которые могут быть одновременно истинными.
Выделяют три вида совместимости сложных суждений:
1) эквивалентность;
2) частичная совместимость;
3) подчинение.
Эквивалентными являются суждения, являющиеся истинными или ложными одновременно.
Частично совместимыми являются суждения, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
К подчиненным относятся такие суждения, в которых при истинности подчиняющего подчиненное всегда истинно.
Суждения, которые одновременно не могут быть истинными, являются несовместимыми.
Выделяют два вида несовместимости: 1) противоположность; 2) противоречие.
Противоположность – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.
Противоречащими являются суждения, которые не могут быть одновременно истинными и ложными.
Модальность суждений.
Простые суждения отличаются друг от друга в зависимости от того, какую модальность они имеют.
Сам термин «модальность» употребляется в логике в двух смыслах, в узком и широком. В узком смысле модальностями называется такие свойства суждений, как необходимость, действительность, возможность, случайность и тому подобное. Если мы утверждаем: «Необходимо, что А» это означает, что мы констатируем модальность простого суждения А; или мы утверждаем: «Возможно, что В» – это значит мы констатируем модальность простого суждения В и так далее. Если мы просто говорим: «С», то это значит, что мы считали, что суждение С имеет модальность действительности. Логики такого ряда модальности называют модальностями в собственном смысле слова. В последнее время для их обозначения употребляют словосочетание алетические модальности (от греческого слова «алетейя» - истина), это позволяет отличить узкий смысл слова «модальность» от широкого.
В широком смысле модальностями называются самые различные свойства суждения. Так например: «известно, что А», «доказуемо, что В», «сомнительно, что С», «А обязательно», «В разрешается», «С запрещается», «А хорошо», «В плохо», «С предпочтительно», мы утверждаем разные модальности тех или иных суждений. К широкому модальности относят и такие суждения: «было, что А», «будет, что В», «имеет место С» тому подобное.
Всё разнообразие модальностей разделено логиками на классы. Существуют классы нормативных, оценочных, эпистемических (от греческого «эпистеме» - знание), временных и так далее модальностей. Каждый класс модальностей является предметом изучения современной логики. Мы в нашей лекции ограничимся модальностями в узком смысле слова, рассмотрим их свойства и некоторые логические зависимости между ними.
В логике принято считать основными алетическими модальностями модальности необходимости, действительности и возможности. Алетические модальности описываются в логике с использованием специальной терминологии, а именно: суждения, выражающие необходимость, часто называют аподиктическими; суждения, выражающие действительность – ассерторическими; суждения, выражения возможность – проблематическими.
Модальность суждения может быть выражена явно, или неявно. Если мы говорим: «Необходимо, что А», то здесь модальность выражена явно и она представлена в виде функтора, или оператора «Необходимо, что…». Но часто модальность заключается в связке: «S необходимо есть P». Модальность может заключаться в суждении и неявно, то есть вытекать из его содержания. Например: в аподиктическом суждении: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» скрытно присутствует слово «необходимо (равна)»; мы его не упоминаем, но подразумеваем.
Теперь нам необходимо выяснить вопрос о содержательной, семантической интерпретации модальностей необходимости, действительности и возможности. В современной логике ассерторический считаются суждения, выражающие те или иные фактически существующие обстоятельства или положения вещей. Необходимость считается присущей логическим правилам вывода, законам логики и других наук, а также положением, которые выводятся из этих законов по этим правилам. Возможность приписывания таким положениям вещей, которые фактически, быть может, и не существуют но существование которых не противоречит законам логики и других наук.
Кроме указанных трёх видов модальностей в современной логике принято деление модальностей на логические и физические, хотя деление это условно. Логически необходимыми считаются правила и законы логики и других дедуктивных наук: математики, теоретической механики и тому подобное. Логически возможным считается всё то, что этим законам не противоречит. Физически необходимыми именуются законы вех естественных наук, а физически возможным оказывается всё то, что им не противоречит. Соотношение между логическими и физическими модальностями таковы: то, физически необходимо, отнюдь не всегда необходимо логически, а то, что логически возможно, отнюдь не всегда возможно физически. Например, законы Ньютона, Фарадея и других эмпирические зависимости, отнюдь не являются логически необходимым. Логически возможно, что камень, которому позволено свободно падать, полетит не вниз, а вверх, или что в проводнике, вращаемом в магнитном поле, не будет индицироваться электрический ток.
В современной логике распространена также интерпретация алетических модальностей с помощью так называемой системы «возможных миров». Это абстрактная интерпретация, которая может быть различным образом конкретизирована. Допустим, у нас имеется некоторое количество N предметных моделей, которые логиками условно называются «мирами». Процессы внутри этих миров описываются при помощи некоторого класса M простых суждений. Разница между мирами заключается в следующем: то, что истинно в одном из них, может оказаться ложным в другом. Для каждого суждения из списка M существует область «миров, в которых оно истинно, «область «миров»», в которых оно ложно. Один из «миров» выделяют особо. Он считается моделью действительности: то, что истинно в этом «мире», истинно в действительности. По отношению к этому «действующему миру» остальные оказываются только «возможными». В них являются ложными некоторые из тех суждений, которые истинны в «действующем мире». Но в каждом «возможном мире» имеются такие истинные суждения, которые истинны ив «действующем мире».
Модальности системы «возможных миров» интересуются следующим образом. Аподиктическими являются те суждения, которые истинны во всех мирах, ассерторическими – те, которые истинны в «действительном мире», проблематическими – те, которые истинны хотя бы в одном из «возможных миров».
Абстрактную модель «возможных миров» можно конкретизировать следующим образом. Допустим, что мы рассмотрели окружающий нас реальный мир и его развитие. Условно разделим время, в котором протекает это развитие, на отдельные моменты, предположим, что нам надо описать состояние нашего мира в те или иные моменты развития. Но так как в каждый момент мир меняется, то, что было истинным в один момент, может оказаться ложным в другой момент (в другие моменты). Интерпретировать систему «возможных миров» здесь можно так: пусть каждый «возможный мир» будет сопоставлен отдельному моменту времени развития нашего мира, а «действительный мир» будет соответствовать настоящему моменту. Тогда появляется возможность выразить алетические модальности через посредство времени. Необходимым тогда оказывается то, что имеет место во все моменты времени, то, что всегда было, есть и будет. Возможным оказывается то, что имело, имеет, или будет иметь место хотя бы в один какой – либо момент времени. Действительным – то, что имеет место в настоящий момент. Все приведённые интерпретации позволяют сформулировать следующие логические зависимости между основными алетическими модальностями.
Если нечто является необходимым, то оно действительно; обратное – неверно. Например, здание Госпрома в г. Харькове необходимо есть здание Госпрома, ибо это вытекает из закона тождества. Мы не можем привести примера, когда нечто необходимое не является действительным. Но из действительности чего – либо не следует его необходимость. Например, здание Киевского университета покрашено в красный цвет, что не является необходимым (цвет мог быть зелёным, синим, жёлтым, серым или белым).
Если нечто является действительным, то оно возможно; обратное – неверно. Например, если астронавты (люди) действительно находятся на Луне, значит это возможно. Но, наоборот из возможности чего – либо ещё не следует действительность этого. Так, вполне возможно, что люди побывали на Марсе, но пока в действительности этого нет.
Если нечто является необходимым, то оно возможно; обратное – неверно. Эта зависимость вытекает из двух предыдущих.
Данные зависимость можно выразить другим способом. Заметим, что если суждение А необходимо, то суждение «необходимо, что А» истинно, если суждение А возможно, то суждение «возможно, что А» истинно. С учётом этого мы можем уточнить вышеприведённые положения так:
из истинности суждения «необходимо, что А» следует истинность суждения А, но не наоборот; из ложности суждения А следует ложность суждения «необходимо, что А», но не наоборот;
из истинности суждения А следует истинность суждения «возможно, что А», но не наоборот; из ложности суждения «возможно, что А» следует ложность суждения А, но не наоборот;
из истинности суждения «необходимо, что А» следует истинность суждения «возможно, что А», но не наоборот; из ложности суждения «возможно, что А»следует ложность суждения «необходимо, что А», но не наоборот.
Что касается произвольных модальностей, они могут быть введены различными способами, в частности, если модальность суждений исследовать с учётом их качества и количества. Мы остановимся на соединённом расположении модальности и качества суждений (этот раздел наиболее разработан в логике).
Рассмотрим основные алетические модальности отрицательных суждений. Возьмём отрицание суждения А и применим к нему последовательно все основные модальности. Получим следующие суждения: «необходимо, что не – А», «не – А», «возможно, что не – А», аподиктическое, ассерторическое и проблематическое соответственно. Со времени античности и средневековья известны логические зависимости между ними и суждениями: «необходимо, что А», «А», «возможно, что А». Эти зависимости легче понять, если изобразить их наглядно, графически, в виде «модального шестиугольника».
Линии ab и bc и ac обозначают приведённые выше зависимости (1) - (3) между основными модальностями утвердительных суждений. Эти зависимости выражают отношения подчинения: модальность действительности подчинения, модальности необходимости, а модальности возможности подчиняется им обеим. Линии df, ef и df изображают аналогичные отношения подчинения между основными модальностями отрицательных суждений. Эти отношения могут быть записаны в виде зависимостей, аналогичных зависимостям (1) - (3).
Остальные линии шестиугольника изображают отношения между модальностями утвердительных суждений и модальностями отрицательных суждений. В той или иной форме эти суждения содержат в себе отрицание.
Рассмотрим важнейшие из них. Диагонали шестиугольника: линии af, cd и be изображают отношения контрадикторности между модальностями, которые они соединяют. Если два каких – либо суждения контрадикторны, то тогда одно из них истинно, другое – ложно, а когда одно из них ложно, то другое – истинно. Это можно, также, выразить в следующей форме: из двух контрадикторных суждений одно истинно тогда и только тогда, когда истинно отрицание другого, а ложно тогда и только тогда, когда ложно отрицание другого. Соответственно, отрицания, изображенные линиями af, cd и be дают следующие зависимости:
суждение «необходимо, что А» истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение «невозможно, что не – А», и ложно тогда и только тогда, когда последнее ложно;
суждение «возможно, что не – А» истинно тогда и только тогда, когада суждение «не необходимо, что А» истинно, и ложно тогда и только тогда, когда последнее ложно. Зависимости (4) и (5) соответствуют af;
суждение «необходимо, что не – А» истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение «невозможно, что А», и ложно тогда и только тогда, когда ложно последнее;
суждение «возможно, что не – А» истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение «не необходимо, что не – А», и ложно тогда и только тогда, когда последнее ложно. Зависимости (6) и (7) соответствуют линии cd.
Отметим, что линия be шестиугольника выражает так называемый «закон двойного отрицания». Выписанные зависимости дают две производные модальности: модальность невозможности и модальность не- необходимости.
Линии ad, ae и bd изображают отношения контрарности между соединениями или модальностями. Если суждения контрарны, то из истинности одного из них следует ложность другого, из ложности одного из них ни истинность, ни ложность другого не следует. Иначе говоря, контрарные суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, суждение «необходимо, что не – А» и «необходимо что А» могут быть одновременно ложными, но если одно из них истинно, то ложность другого следует логически.
Линии bf, ce и cf изображают отношения субконтрарности между соответствующими модальностями. Если суждения субконтрарны, то из ложности одного из них следует истинность другого, но из истинности одного ни ложность, ин истинность другого не следует. Иначе говоря, субконтрарность суждения не могут быть одновременно истинными. Так, если одно из суждений «возможно, что А» и «возможность, что не – А» ложно, то другое обязательно будет истинным. В случае, когда одно из них истинно, другое может быть как истинным, так и ложным. Случай, когда оба они истинны, даёт нам ещё одну производную модальность: модальность случайности. Большинство логиков считают, что сказать «случайно, что А» то же самое, что сказать «возможно, что А, и возможно, что не – А».
В качестве производных модальностей логика выделяет, также, так называемые интерированные модальности. Они получаются итерацией, или повторением, всех вышеописанных модальностей, как основных, так и производных, причём повторяются они могут в самых различных сочетаниях и сколько угодно раз. Например: «возможно, что возможно, что А», «возможно, что необходимо не – А», «невозможно, что возможно, что необходимо, что не – А» и так далее, и тому подобное. Интерирование модальности является предметом дальнейшего изучения для современной логики.
