Интеграл с переменным верхним пределом
Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:
Пусть функция 
интегрируема на отрезке 
Тогда для любого 
можно вычислить число 
Значит, для каждого определена функция Эту функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке 
то интеграл 
непрерывен на этом отрезке. Если непрерывна на отрезке то
дифференцируема на указанном отрезке, причём
Доказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдём к обоснованию второй части. Пусть 
произвольная точка интервала 
Вычислим
Так как 
непрерывна на отрезке то применима теорема о среднем: существует точка 
такая, что
Тогда 
Устремляя здесь 
и учитывая, что при этом 
т.е. 
Равенство (1) показано в любой внутренней точке отрезка 
Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана.
Следствие 1. Любая непрерывная на отрезке 
функция имеет первообразную.
Действительно, в качестве одной из первообразных можно указать интеграл 
с переменным верхним пределом (
).
Формула Ньютона-Лейбница
Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.
Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке 
и 
её первообразная на отрезке Тогда
Доказательство. Так как 
первообразная функции на отрезке , то существует постоянная 
такая, что 
Положим в этом равенстве 
будем иметь 
Поэтому
Полагая здесь 
получаем формулу (2). Теорема доказана.
Например, 
3. Замена переменных и интегрирование по частям в определённом интеграле
С помощью формулы Ньютона-Лейбница нетрудно доказать следующие утверждения.
Теорема 3 (см. Р7). Пусть функция непрерывна на отрезке 
а функция 
непрерывно-дифференцируема на отрезке 
таком, что 
причём 
Тогда имеет место формула замены переменных в определённом интеграле:
Теорема 4. Пусть функции 
непрерывно-дифференцируемы на отрезке Тогда имеет место формула интегрирования по частям в определённом интеграле: 
Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (или алгебраической дробью) называется функция, представимая в виде отношения двух многочленов:
При этом дробь 
называется правильной, если степень 
её многочлена-числителя 
меньше степени 
её многочлена-знаменателя 
в противном случае (т.е. в случае 
) дробь называется неправильной. Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель углом. Например,
Определение 1. Простейшими дробями типа 
называются следующие дроби:
где 
действительные постоянные, 
натуральные числа.
Теорема 5. Любую правильную дробь можно разложить в сумму простейших дробей типа 
Это разложение единственно (с точностью до порядка слагаемых).
