Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћекци€ є5. ћатематические предложени€ и методика изучени€ теорем

1. ¬иды математических предложений

2. Ћогическа€ структура теорем. ¬иды теорем и св€зь между ними

3. Ќеобходимые и достаточные услови€, теоремы Ц свойства и теоремы Ц признаки

4. ћетодика обучени€ доказательству

I.  ажда€ математическа€ теори€ представл€ет собой множество предложений, описывающих структуру этой теории. — каждым математическим предложением св€заны содержание (выраженное в нем математическое содержание) и логическа€ форма (или структура). ¬ математике различают элементарные и составные предложени€. —оставные предложени€ образуютс€ из элементарных с помощью логических св€зок УнеФ, УиФ, УилиФ, Уесли Е, тоФ, Утогда и только тогдаФ, Удл€ вс€когоФ, обозначающих логические операции.

¬ы€вить логическую структуру составного предложени€ Ц значит установить:

1) »з каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) — помощью каких логических св€зано.

а)У Ф б) У Ф

Ёто сложное предложение:

а) 1) 2) а) 1) 2)

б) или (дизъюнкци€) б) и (конъюнкци€)

  математическим предложени€м относ€тс€:

Ј “еорема Ц математическое предложение, истинность которого доказываетс€,

Ј јксиома Ц математическое предложение, истинность которого принимаетс€ без доказательства,

Ј ќпределени€ математических пон€тий.

—реди суждений, устанавливающих различные отношени€ между математическими пон€ти€ми, выдел€ют высказывани€ и высказывательные формы.

ќпределение. ¬ысказыванием называетс€ предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.

- ложное высказывание.

ќпределение. ¬ысказывательна€ форма Ц это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращаетс€ в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.

- одноместна€ высказывательна€ форма

- двуместна€ высказывательна€ форма

II.  ажда€ теорема состоит из 3 частей:

Ј разъ€снительна€ часть

Ј условие

Ј заключение

¬ разъ€снительной части описываетс€, какие точки или фигуры рассматриваютс€ в теореме. ƒл€ словесного выражени€ теорем обычно используют две формы суждений: категоричную, условную (импликативную).

 атегорична€ Ц когда принадлежность или непринадлежность некоторого признака предмету независимо от каких бы то ни было условий.

”словна€ Ц когда истинность суждени€ ставитс€ в зависимости от определенных условий.

≈сли теорема содержит несколько условий и заключений, то теорема сложна€.

Ћогико Ц математический анализ теоремы предполагает:

1) установление формы суждени€;

2) выделение разъ€снительной части, услови€, заключений;

3) установление факта, кака€ дана теорема Ц проста€ или сложна€.

- пр€ма€ теорема

≈сли разъ€снительную часть оставить без изменени€, а условие и заключение помен€ть местами, то получим утверждение обратное данному. ()

≈сли разъ€снительную часть оставить без изменени€, а условие и заключение утверждени€ заменить их отрицанием, то получим утверждение противоположное данному.

≈сли оставить без изменени€ разъ€снительную часть и помен€ть местами условие и заключение утверждени€, противоположного данному, то получим утверждение, обратное противоположному.

”тверждени€ , всегда одновременно истинны или ложны. Ёта св€зь между теоремами используетс€ при доказательстве методом от противного. ≈сли первую теорему трудно доказать, то еЄ замен€ем на обратную противоположной.

—хема метода доказательства от противного:

1) предлагаем противоположное тому, что требуетс€ доказать, т.е. Е

2) из предложени€ следует, что Е

3) получаем противоречие с Е

4) значит наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т.е Е

III. ≈сли из предложени€ следует предложение , то говор€т, что - достаточное условие дл€ , а - необходимое условие дл€ .

ƒругими словами, предложение называетс€ необходимым условием дл€ , если оно логически следует из . ѕредложение называетс€ достаточным условием дл€ ,если из него следует.

≈сли УиФ, УиФ, то говор€т, что €вл€етс€ необходимым и достаточным условием дл€ , и наоборот.

ѕример: ≈сли число делитс€ на 10, то оно делитс€ на 2.

 

истинно, т.е. - достаточное дл€ ,

- необходимое дл€ .

ќпределение. ѕод свойством понимаетс€ об€зательное условие принадлежности объекта к данному виду.

ƒругими словами, свойство Ц это то, что мы можем получить (или доказать), исход€ из того, что объект принадлежит к данному виду.

Ќапример, мы знаем, что - ромб. —ледовательно, мы можем утверждать, что:

¾ - четырехугольник

¾ - параллелограмм

¾ диагонали и перпендикул€рны

и т.д.

¬се это Ц свойства ромба. »наче их называют необходимыми услови€ми того, что - ромб.

—войство дл€ любого пон€ти€ можно сформулировать по следующей схеме:

≈сли что-то €вл€етс€ объектом такого-то вида,

то

дл€ него выполн€етс€ то-то.

ѕризнак Ц это достаточное условие, т.е. такое, которое формулируетс€ по схеме:

≈сли дл€ данного объекта выполн€етс€ такое-то условие,

то

объект принадлежит к рассматриваемому виду.

¬ математике часты случаи, когда одно и то же условие €вл€етс€ и свойством, и признаком данного пон€ти€.

ѕример.

ѕризнак: ≈сли в четырЄхугольнике диагонали пересекаютс€ в одной точке и дел€тс€ ею пополам, то четырЄхугольник €вл€етс€ параллелограммом.

—войство: ≈сли четырЄхугольник €вл€етс€ параллелограммом, то его диагонали пересекаютс€ в одной точке и дел€тс€ ею пополам.

“акое условие, которое €вл€етс€ одновременно и признаком, и свойством, называетс€ характеристическим свойством пон€ти€. —формулировать можно его двум€ способами с использованием слов: или Унеобходимо и достаточноФ, или Утогда и только тогдаФ.

ѕример.

1) „етырехугольник €вл€етс€ параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаютс€ в одной точке и дел€тс€ ею пополам.

2) ƒл€ того чтобы четырехугольник €вл€лс€ параллелограммом необходимо и достаточно, чтобы его диагонали пересекались и делились ею пополам.

IV. ѕри изучении теоремы можно условно выделить следующие этапы:

1) подготовительный этап

2) введение

3) усвоение

4) закрепление

I. ќсуществл€етс€ актуализаци€ знаний, необходимых дл€ введени€ и доказательства теоремы.

¾ мотиваци€ изучени€ теоремы:

a) обобщение необходимых в жизни фактов и €влений и перевод их на математический €зык;

b) показать необходимость знани€ той или иной теоремы дл€ решени€ практических задач;

c) показать, как решалась данна€ проблема в истории науки.

¾ с помощью практической работы подвести к открытию теоремы.

II.

¾ разобратьс€ в структуре теоремы (дано, доказать);

¾ сделать чертеж и краткую запись

¾ поиск доказательства: он может осуществл€тьс€ с помощью различных приемов. например, конструирование идеи доказательства, исход€ из требовани€ теоремы; обращение к известным методам доказательтва4 использование идеи рассматривать взаимное расположение данных и по€вившихс€ в ходе доказательства фигур и т.д. «авершаетс€ поиск составлением плана доказательства.

¾ оформление доказательства

III.— помощью специально подобранных заданий и вопросов осуществить:

¾ ”своение формулировки

¾ ”своение доказательства

¾ –ешение простейших задач (по готовому чертежу) на непосредственное применение теоремы.

IV. –ешение разнообразных задач, повторение доказательства.

«амечани€.

1. ѕри поиске путей доказательства следует иметь ввиду:

1) ≈сли в доказательстве используетс€ известный учащимс€ метод или доказательство осуществл€етс€ по известной уже схеме, то учащимс€ сообщаетс€ метод, а дальше беседа по плану:

¾ каков 1-ый шаг данного метода?

¾  ак это сделать дл€ данной теоремы?

¾ Е

2) если теорема содержит небольшое число этапов доказательства, каждый из которых УпрозрачноФ св€зан с другим, то примен€ем аналогичные рассуждени€: что нужно знать, чтобы доказать (с конца)

3) если теорема сложна€, то ученикам следует сообщить идею доказательства.

2. Ќа этапе усвоени€ доказательства задаем вопросы:

¾  акова схема доказательства?

¾  аковы этапы доказательства?

¾ Ќа чем основываетс€ каждый этап?

 

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
√лобальные финансовые рынки: масштабы, структура, регулирование. | √ипотеза: пон€тие, виды, построение
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 9595 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

835 - | 618 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.03 с.