Односторонние пределы
Дадим их кратко.
Определение 1. Левый предел функции 
в точке 
(обозначение: 
): 
Правый предел функции в точке (обозначение: 
): 
Очевидно следующее свойство:
Для существования обычного предела 
необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы 
и чтобы имело место равенство
Непрерывность функции в точке
Пусть функция 
определена в точке и некоторой её окрестности.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке 
если
т.е. если 
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке если 
(соответственно 
).
Функция называется непрерывной на множестве 
если она непрерывна в каждой точке 
этого множества.
Очевидны следующие высказывания.
( непрерывна в точке ) 
Для того чтобы функция была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке 
Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное 
двух непрерывных в точке 
функций непрерывно в этой точке, если 
С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.
Теорема 1. Пусть сложная функция 
определена в некоторой проколотой окрестности точки и пусть выполнены условия:
а) существует 
б) функция 
непрерывна в точке 
Тогда существует предел 
и имеет место равенство
Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой её окрестности и пусть выполнены условия:
а) функция 
непрерывна в точке ,
б) функция непрерывна в соответствующей точке 
Тогда сложная функция 
непрерывна в точке
Теорему 1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2– теоремой о непрерывности сложной функци и.
Пример 1. Найти предел 
Решение. Так как существует 
а функция 
непрерывна в точке 
то по теореме 1 имеем
Определение 3. Функции вида
называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путём применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида).
Имеет место следующая замечательная теорема.
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке своей области определения 
.
Напомним, что точка называется внутренней точкой множества 
если она входит в 
вместе с некоторой своей окрестностью 
Например, функция 
непрерывна на множестве 
так как это множество является областью определения функции и все точки этого множества – внутренние.
Если хотя бы одно из условий определения 2 не выполнено, то функция является
разрывной в точке . Различают два типа разрывов:
Точка – точка разрыва I рода: а) существуют 
и конечные односторонние пределы 
но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению ;
б) существуют конечные односторонние пределы но не определена в точке
Точка – точка разрыва II рода: либо не существует хотя бы один из односторонних пределов либо хотя бы один из них равен бесконечности.
Например, точка 
точка разрыва I рода для функций
а для функции 
она является точкой разрыва II рода.
Если 
то прямая 
вертикальная асимптота для функции 
Прямая 
называется наклонной (горизонтальной при 
) асимптотой функции 
, если 
Нетрудно показать, что если существуют конечные пределы
то прямая 
асимптота кривой Таким образом, асимптоты функции
могут возникнуть при подходе 
к точкам разрыва второго рода этой функции либо на бесконечности.
3. Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции 
точки 
секущая, 
касательная к кривой углы 
Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности 
. Сместимся из точки 
в точку 
Величина 
называется приращением аргумента в точке 
а величина 
= 
называется приращением функции в точке (соответствующим приращению 
аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке и обозначают 
При этом функцию называют дифференцируемой в точке а
величину 
называют дифференциалом функции в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как 
и так как 
то 
т.е.
т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания 
С другой стороны, из рисунка видно,что 
поэтому
дифференциал 
равен приращению касательной 
к графику функции при переходе аргумента из точки в точку 
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке 
(касательная), 
(нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если 
путь пройденный материальной точкой за время от момента 
до момента 
то 
средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент 
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: 
непрерывна в точке 
но 
не существует).
