Непрерывность функции в точке

Односторонние пределы

Дадим их кратко.

Определение 1. Левый предел функции в точке (обозначение: ):

Правый предел функции в точке (обозначение: ): Очевидно следующее свойство:

Для существования обычного предела необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и чтобы имело место равенство

Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если

т.е. если

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке если (соответственно ).

Функция называется непрерывной на множестве если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Очевидны следующие высказывания.

( непрерывна в точке )

Для того чтобы функция была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке

Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное двух непрерывных в точке функций непрерывно в этой точке, если

С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.

Теорема 1. Пусть сложная функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и пусть выполнены условия:

а) существует

б) функция непрерывна в точке

Тогда существует предел и имеет место равенство

Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой её окрестности и пусть выполнены условия:

а) функция непрерывна в точке ,

б) функция непрерывна в соответствующей точке

Тогда сложная функция непрерывна в точке

Теорему 1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2– теоремой о непрерывности сложной функци и.

 

Пример 1. Найти предел

Решение. Так как существует а функция непрерывна в точке то по теореме 1 имеем

Определение 3. Функции вида

называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путём применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида).

Имеет место следующая замечательная теорема.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке своей области определения .

Напомним, что точка называется внутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью

Например, функция непрерывна на множестве так как это множество является областью определения функции и все точки этого множества – внутренние.

Если хотя бы одно из условий определения 2 не выполнено, то функция является

разрывной в точке . Различают два типа разрывов:

Точка – точка разрыва I рода: а) существуют и конечные односторонние пределы но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению ;

б) существуют конечные односторонние пределы но не определена в точке

Точка – точка разрыва II рода: либо не существует хотя бы один из односторонних пределов либо хотя бы один из них равен бесконечности.

Например, точка точка разрыва I рода для функций

а для функции она является точкой разрыва II рода.

Если то прямая вертикальная асимптота для функции Прямая называется наклонной (горизонтальной при ) асимптотой функции , если Нетрудно показать, что если существуют конечные пределы

то прямая асимптота кривой Таким образом, асимптоты функции

могут возникнуть при подходе к точкам разрыва второго рода этой функции либо на бесконечности.

 

3. Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл

 

На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности . Сместимся из точки в точку Величина называется приращением аргумента в точке а величина = называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).

Определение 4. Если существует (конечный) предел

то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функцию называют дифференцируемой в точке а

величину называют дифференциалом функции в точке

Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как то т.е.

т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания

С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому

дифференциал равен приращению касательной к графику функции при переходе аргумента из точки в точку

Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

(касательная), (нормаль).

Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента до момента то средняя скорость материальной точки, а величина

мгновенная скорость материальной точки в момент

Нетрудно показать, что

любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точке но не существует).