Линейные операции над матрицами.

Лекция № 1. Матрицы и определители.

План лекции

1. Определение матрицы. Виды матриц.

2. Линейные операции над матрицами.

3. Умножение матриц.

4. Определители второго и третьего порядков. Их свойства.

5. Обратная матрица.

6. Ранг матрицы.

 

Список литературы

1. Виленкин, И.В. Высшая математика для студентов экономических, естественно-научных специальностей вузов: учеб. пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.

2. Виленкин, И.В. Задачник по математике. Часть 1 / И.В. Виленкин, О.Е. Кудрявцев, М.М. Цвиль, С.И. Шабаршина. – Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2007.

3. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА – М,2008.

4. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Фридман. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2002.

Определение матрицы. Виды матриц.

 

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов

.

Каждый элемент матрицы имеет два индекса: – номер строки и – номер столбца. Например, в матрице

размера , , , .

Часто используется краткая запись матрицы: .

Определение. Матрица называется квадратной -го порядка, если она состоит из строк и столбцов. Матрица размера называется матрицей-строкой, а матрица размера матрицей-столбцом.

Нулевой матрицей 0 заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.

Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:

.

Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.

Определение. Транспонированной для матрицы называется матрица , строки которой являются столбцами матрицы , а столбцы – строками . Например, если

, то .

Матрицы и называются равными, если , , .

Линейные операции над матрицами.

Определение. Суммой матриц и называется матрица .Складываются матрицы только одинакового размера.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица . Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и выполняются свойства:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6) .

 

3. Умножение матриц

 

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица размера с элементами , , .

Другими словами, для получения элемента, стоящего в -той строке матрицы-произведения на -том месте, следует вычислить сумму произведений элементов -той строки матрицы на -тый столбец матрицы .

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.

Заметим, что вполне возможна ситуация, когда существует, а нет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря, . Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Если и - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:

1) ;	3) ;
2) ;	4) .