Лекция № 1. Матрицы и определители.
План лекции
1. Определение матрицы. Виды матриц.
2. Линейные операции над матрицами.
3. Умножение матриц.
4. Определители второго и третьего порядков. Их свойства.
5. Обратная матрица.
6. Ранг матрицы.
Список литературы
1. Виленкин, И.В. Высшая математика для студентов экономических, естественно-научных специальностей вузов: учеб. пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.
2. Виленкин, И.В. Задачник по математике. Часть 1 / И.В. Виленкин, О.Е. Кудрявцев, М.М. Цвиль, С.И. Шабаршина. – Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2007.
3. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА – М,2008.
4. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Фридман. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2002.
Определение матрицы. Виды матриц.
Определение. Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая 
строк и 
столбцов
.
Каждый элемент матрицы 
имеет два индекса: 
– номер строки и 
– номер столбца. Например, в матрице
размера 
, 
, 
, 
.
Часто используется краткая запись матрицы: 
.
Определение. Матрица называется квадратной -го порядка, если она состоит из строк и столбцов. Матрица размера 
называется матрицей-строкой, а матрица размера 
матрицей-столбцом.
Нулевой матрицей 0 заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.
Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:
.
Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.
Определение. Транспонированной для матрицы 
называется матрица 
, строки которой являются столбцами матрицы , а столбцы – строками . Например, если
, то 
.
Матрицы и 
называются равными, если 
, 
, 
.
Линейные операции над матрицами.
Определение. Суммой матриц и называется матрица 
.Складываются матрицы только одинакового размера.
Определение. Произведением матрицы на число 
называется матрица 
. Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и 
выполняются свойства:
1)  ;
| 4)  ;
|
2)  ;
| 5)  ;
|
3)  ;
| 6)  .
|
3. Умножение матриц
Определение. Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
размера с элементами 
, 
, 
.
Другими словами, для получения элемента, стоящего в -той строке матрицы-произведения на -том месте, следует вычислить сумму произведений элементов -той строки матрицы на -тый столбец матрицы .
В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.
Заметим, что вполне возможна ситуация, когда 
существует, а 
нет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря, 
. Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Если 
и - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:
1)  ;
| 3)  ;
|
2)  ;
| 4)  .
|
