В процессе деформации бруса под нагрузкой в нем появляются дополнительные (к силам физического взаимодействия между частицами тела) механические силы взаимодействия, которые и изучаются в сопротивлении материалов. Для выявления этих сил используются метод сечений: мысленно рассечем брус плоскостью и рассмотрим одну его
|
|
|
|
|
|
|
|
В сечении левой части возьмем произвольную точку О, в окрестности которой выделим малую площадку 
, на которую действует малая сила 
как результат действия отброшенной правой части.
Отношение 
среднее напряжение на площадке .
Величина 
полное напряжение в т. О, имеет размерность Н/м2 и физический смысл – интенсивность давления (поверхностная нагрузка).
В т. О проведем к сечению орт нормали 
(ню). Обычно направления векторов r и n не совпадают. Поэтому полное напряжение r можно разложить на две составляющие (компоненты): 
нормальное напряжение и 
касательное напряжение, действующее в плоскости сечения (
сигма, 
тау). Очевидно, что r 
геометрическая сумма векторов или в скалярном виде 
.
Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, т.е. сечение левой части является поперечным (рис. 1.4). В т. О введем правые оси 
и т.к. сечение бруса поперечное, то ось 
совпадает с нормалью . А оси х и у будут расположены в сечении бруса.
В этом случае нормальное напряжение 
можно обозначить 
нормальное напряжение вдоль оси . Касательное напряжение 
можно разложить на составляющие по осям х и у, т.е.
или 
Обозначение напряжений: нормальные напряжения обозначаются 
, индекс определяет его направление по осям; касательные напряжения обозначаются 
с двумя индексами: первый определяет его направление, а второй – площадку, в которой он действует. Например: 
касательное напряжение, действует в направлении у на площадке перпендикулярной оси .
|
Т.к. оси xyz декартовые, то очевидно:
или 
(1.1)
Для определения знаков всех напряжений введем следующие правила:
1. Вводим для бруса правые оси xyz.
2. Рассекаем брус плоскостью перпендикулярной к оси z. К сечениям левой и правой частей проводим внешние (т.е. наружу) орты нормалей 
. Площадка сечений считается положительной, если внешняя нормаль совпадает с направлением оси z (т.е. сечение левой части положительно, а сечение правой части – отрицательная площадка).
3. На положительной площадке положительные напряжения совпадают с положительными направлениями осей x, y, z. На отрицательной площадке – положительные напряжения направлены против осей x, y, z (это соответствует III закону Ньютона – действие и противодействие).
Итак: на рис. 1.4 сечение левой части – положительная площадка и все показанные напряжения 
положительны.
Напряжения в декартовой системе координат
Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки – отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения 
, а на отрицательных площадках – противоположно направленные 
. Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).
Рис. 1.5
Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5в. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).
Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Т s
(1.2)
Закон парности касательных напряжений
Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной 
и 
вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5в. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси 
, проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т.е. 
. При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты. На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения 
и 
, а на видимых (положительных) – напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. 
и 
. Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим . (ось 
на рис. 1.6 показана как точка )
 |
Рис. 1.6
и 
и 
и их не учитывать. Сокращая в (1) на 
окончательно получим
и 
, проходящие через центр кубика, окончательно получим:
(1.3)
Рис. 1.7
. Отрезок 
называют полным перемещением. Его можно разложить на компоненты по осям x, y, z, т.е. 
. Здесь 
перемещение точки тела вдоль оси х, 
перемещение вдоль оси у, 
вдоль оси 
, 
, 
.
и 
малы при допустимых нагрузках. Величина 
называется относительной линейной деформацией вдоль оси у в т. К.
, оси 
(
эпсилон). 
положительны при деформациях удлинения (растяжения). Они безразмерны.
деформация сдвига в плоскости 
. Аналогично могут возникнуть 
и 
деформации сдвига в плоскостях 
и 
. Они измеряются в радианах. Деформации сдвига положительны, если первоначально прямой угол становиться острым. Совокупность 
линейных деформаций и 
деформаций сдвига полностью определяют деформированное состояние в точке тела, которые также являются функциями координат точки тела (
гамма). Их можно записать в матричной форме в виде тензора деформаций 
. Очевидно, что 
(1.4)
, можно использовать также метод сечений, описанный выше и показанный на рис. 1.3. В каждой точке сечения левой части бруса действует полное напряжение 
. Разобьем все сечение левой части «А» на большое число малых площадок 
, 
. Систему малых сил 
по всему сечению бруса можно перенести в произвольную точку «О» сечения. При этом в т. О получим главный вектор силы 
и главный вектор момента 
, которые являются результатом действия отброшенной правой части.
, 
и 
. Следовательно, должны выполняться векторные уравнения равновесия
(А)
и главный момент 
можно разложить на компоненты по осям 
:
Рис. 1.8
(В)
Здесь: 
внутренняя продольная сила, вызывает растяжение или сжатие бруса; 
и 
внутренние поперечные силы, вызывают деформации сдвига; 
внутренние изгибающие моменты; 
внутренний скручи-
положительны, если направлены вдоль осей x, y, z; 
положительны, если направления этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки.
(Г)
компоненты в направлении оси 
внешних сил 
, действующих на левую часть бруса; 
моменты относительно оси 
(Д)
(1.5)
, 
и 
есть равнодействующие внутренних напряжений 
, распределенных по сечению бруса. Поэтому, они связаны определенными зависимостями, которые легко установить из рис. 1.9, на котором показаны
(1.6)
, погонными моментами 
, некоторым набором сосредоточенных сил 
и 
в сечении бруса условно смещены влево и вправо (чтобы рис. 1.10 не перегрузился обозначениями силовых факторов).
Отсюда 
Отсюда 
Отсюда 
, проходящих через т. 
сечения в-в.
Здесь, ввиду малости 
.
(1.7)
