Метод сечений. Понятия о напряжениях

В процессе деформации бруса под нагрузкой в нем появляются дополнительные (к силам физического взаимодействия между частицами тела) механические силы взаимодействия, которые и изучаются в сопротивлении материалов. Для выявления этих сил используются метод сечений: мысленно рассечем брус плоскостью и рассмотрим одну его

t_n

s_n

часть, например левую (рис. 1.3).

В сечении левой части возьмем произвольную точку О, в окрестности которой выделим малую площадку , на которую действует малая сила как результат действия отброшенной правой части.

Отношение среднее напряжение на площадке .

Величина полное напряжение в т. О, имеет размерность Н/м² и физический смысл – интенсивность давления (поверхностная нагрузка).

В т. О проведем к сечению орт нормали (ню). Обычно направления векторов r и n не совпадают. Поэтому полное напряжение r можно разложить на две составляющие (компоненты): нормальное напряжение и касательное напряжение, действующее в плоскости сечения ( сигма, тау). Очевидно, что r геометрическая сумма векторов или в скалярном виде .

Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, т.е. сечение левой части является поперечным (рис. 1.4). В т. О введем правые оси и т.к. сечение бруса поперечное, то ось совпадает с нормалью . А оси х и у будут расположены в сечении бруса.

В этом случае нормальное напряжение можно обозначить нормальное напряжение вдоль оси . Касательное напряжение можно разложить на составляющие по осям х и у, т.е.

или

Обозначение напряжений: нормальные напряжения обозначаются , индекс определяет его направление по осям; касательные напряжения обозначаются с двумя индексами: первый определяет его направление, а второй – площадку, в которой он действует. Например: касательное напряжение, действует в направлении у на площадке перпендикулярной оси .

Т.к. оси xyz декартовые, то очевидно:

или (1.1)

Для определения знаков всех напряжений введем следующие правила:

1. Вводим для бруса правые оси xyz.

2. Рассекаем брус плоскостью перпендикулярной к оси z. К сечениям левой и правой частей проводим внешние (т.е. наружу) орты нормалей . Площадка сечений считается положительной, если внешняя нормаль совпадает с направлением оси z (т.е. сечение левой части положительно, а сечение правой части – отрицательная площадка).

3. На положительной площадке положительные напряжения совпадают с положительными направлениями осей x, y, z. На отрицательной площадке – положительные напряжения направлены против осей x, y, z (это соответствует III закону Ньютона – действие и противодействие).

Итак: на рис. 1.4 сечение левой части – положительная площадка и все показанные напряжения положительны.

Напряжения в декартовой системе координат

Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки – отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения , а на отрицательных площадках – противоположно направленные . Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).

Рис. 1.5

Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5в. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).

Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Т _s

(1.2)

Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной и вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5в. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси , проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т.е. . При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты. На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения и , а на видимых (положительных) – напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. и . Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим . (ось на рис. 1.6 показана как точка )

Рис. 1.6