Определение 7.
ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида 
или в дифференциальной форме 
Теорема 1.
Если в уравнении 
функции 
, 
, причём в прямоугольнике 
функции 
,
то 
задача Коши
(3)
имеет решение и притом единственное.
Заметим, что в случае, если 
, то уравнение 
переписывается в виде:
.
Если теперь ввести обозначения 
и 
,тоуравнение переписывается в виде , и задача (3) приобретает стандартный вид задачи Коши (2).
Доказательство.
ЭТАП (нахождение общего решения уравнения)
Перепишем уравнение в виде:
, (*)
идалее воспользуемся условием 
, которое позволит нам поделить последнее равенство на 
. Получим:
. (**)
Поскольку, по условию, все функции 
непрерывны, а функции, стоящие в знаменателях еще и отличны от нуля, то существуют первообразные 
и 
функций 
и 
, соответственно. Для них равенство (**) переписывается так:
(***)
Но если равны дифференциалы функций, то сами функции могут отличаться только на константу, то есть
(!)
Равенство (!) представляет собой запись общего решения исходного уравнения 
, а равенство 
– запись его общего интеграла.
ЭТАП (нахождение решения задачи Коши)
Поскольку все решения нашего уравнения могут быть записаны в виде (!), то и частное решение, которое удовлетворяет условию Коши 
, если оно существует, должно, при некотором значении константы 
иметь тот же вид (!). Чтобы найти подходящее значение , подставим в (!) условие Коши. Получим:
. (!!)
Тут важно заметить, что каково бы ни было начальное условие, т.е. 
, константа 
, удовлетворяющая (!!), всегда существует и притом определяется единственным образом. Поэтому существует и притом единственное решение исходной задачи Коши (3), и оно задается формулой
.
Замечание.
В уравнении (*) как в левой, так и в правой частях есть функции, зависящие от 
, и функции, зависящие от 
. В то же время при переходе к (**) мы добились, чтобы в левой части встречалась только переменная , а в правой – только . Этот процесс носит название разделения переменных.
Пример.
Решить уравнение с разделяющимися переменными 
. Для разделения переменных обе части уравнения разделим на 
. Чтобы не потерять решение, необходимо проверить, являются ли корни 
, 
решениями исходного уравнения. Для этого рассмотрим 3 случая:
1) 
, т.е. 
, подставляем в исходное уравнение и получаем 
решение.
2) , 
, т.е. 
, подставляем в исходное уравнение и получаем 
решение.
3) 
, тогда 
, 
или 
, где 
. Потенцируя уравнение, получаем: 
, 
, где 
.
Запишем: 
, 
, 
, 
. Т.к. решение 
получается из решения 
при 
, то допустив, что 
может принимать значение, равное нулю, получаем окончательно: , 
, где 
- любое.
Билет
Функция 
называется однородной функцией степени 
, если 
справедливо 
.
Определение 0.2.
Однородным уравнением называется уравнение вида 
, где 
, 
- однородные функции одной и той же степени.
Определение 0.3.
Однородным уравнением называется ОДУ 1-ого порядка 
, правая часть которого является однородной функцией нулевой степени, т.е. 
.
Последнее равенство означает, что если точка 
принадлежит области определения функции 
, то этой же области принадлежит и открытый луч, проходящий через начальную точку и данную точку 
: 
.
Полагая 
, запишем 
.
В результате приходим ещё к одному определению однородного уравнения.
Определение 8.
Однородным уравнением называется уравнение вида 
Теорема 2.
Если 
, 
,
то для любых 
решение задачи Коши
(6)
Доказательство.
Введём новую неизвестную функцию 
тогда 
, 
, 
, 
, при этом 
. Задача Коши (6) сводится к следующей задаче 
. Получили задачу Коши для ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Согласно теореме (§3 настоящей главы) эта задача имеет решение и притом единственное 
Пример.
Решить задачу Коши 
.
Уравнение 
является однородным. Вводим новую неизвестную функцию 
, 
, 
, отсюда 
, 
, 
, где . 
, отсюда 
. Решаем задачу Коши: т.к. 
, то 
, 
,т.е. 
.
