Если перестановка разлагается в композицию циклов длин 
, то говорят, что она имеет тип 
. (Циклы длины 1 соответствуют неподвижным точкам и не учитываются.)
Порядком перестановки 
называется такое наименьшее натуральное число 
, что 
id (здесь id – тождественная перестановка). Мы выяснили, что порядок перестановки типа равен наименьшему общему кратному длин циклов (обозначается: НОК 
).
Декремент перестановки равен 
, где 
– количество переставляемых элементов, а 
– количество циклов в графе перестановки, включая циклы длины 1.
Мы установили, что цикл (вернее, циклическая перестановка) чётной длины – нечётен, а цикл нечётной длины – чётен. Мы также установили, что декремент цикла длины 
равен 
.
Преобразования и 
называются сопряжёнными, если их графы изоморфны, т.е. совпадают, отличаясь только нумерацией вершин. Это равносильно тому, что 
, где 
– перестановка, которая сопоставляет номеру каждой вершины графа преобразования номер соответствующей вершины графа преобразования . Говорят, что и сопряжены при помощи или что – перестановка, сопрягающая и . С другой стороны, изоморфность графов двух перестановок означает как раз, что типы этих двух перестановок одинаковы. При этом ясно, что сопрягающая перестановка переводит вершины каждого цикла в вершины цикла такой же длины, причём с сохранением порядка следования этих вершин.
Отрицательная и нулевая степени перестановки. По определению, 
для 
и 
id. Тогда 
и 
для любых целых 
(можете проверить!).
В задаче № 2 мы нашли, что
а) 
(здесь 
– различные числа),
б) 
(здесь 
– различные числа).
В задаче № 3 мы нашли композиции циклов, точнее разложения этих перестановок в композиции циклов с непересекающимися множествами подвижных точек:
.
Эти перестановки чётные, имеют декремент, равный 4.
Поскольку они имеют одинаковый тип 
, то они сопряжены. Сопрягающая их перестановка переводит, как было сказано выше, номера вершин для графа перестановки в номера соответствующих вершин для графа перестановки . При этом, номера вершин для цикла длины 4 в графе для переводятся в номера вершин для цикла той же длины в графе для . Пусть, например, 1 переходит в 1. Тогда однозначно определяется, куда переходят номера других вершин этого цикла. Точно так же поступаем с циклами длины 2. Пусть, например, 3 переходит в 3. В итоге, получим такую сопрягающую перестановку:
1. А сколько вообще в этой задаче есть таких сопрягающих перестановок? (Ответ: 8.) Выпишите их все.
2. Для следующих перестановок найдите их чётность, декремент, разложения в композицию циклов с непересекающимися множествами подвижных точек и порядок:
а) 
б) 
Ответ для разложений: а) 
, б) 
.
3. Проверьте, что если имеется разложение перестановки в композицию циклов с непересекающимися множествами подвижных точек, то декремент этой перестановки равен сумме декрементов образующих её циклов.
4. Верна ли формула 
? Если нет, то как надо её подправить? Ответ обосновать.
