Задачи к контрольным заданиям

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

Студенты выполняют 5 контрольных заданий (работ).

Задание 1 (статика) –задачи С1 – С4.

Задание 2 (кинематика) – задачи К1 – К4.

Задание 3 (динамика) –задачи Д1 –Д4.

Задание 4 (динамика) – задачи Д5 – Д8.

Задание 5 (динамика) – задачи Д9 – Д12.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С 1.4 – это рис. 4 к задаче C1 и т. д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице – по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берутся рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера, решаемых задач и год издания контрольных заданий.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывается). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получается более простой, чем общий.

Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а также указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояс­нениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т. п.) и подробно излагать весь ход расче­тов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, прове­ряться не будут, а будут возвращаться для переделки.

К работе, высылаемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться незачтенная ра­бота.

На экзамене необходимо представить зачтенные по данному раз­делу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погреш­ности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштабов. На рисунках к задачам С1–С4 и Д1–Д12 все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам – вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задач и в таблице P ₁, l ₁, r ₁и т. п. означают вес или размеры тела 1; Р ₂, l ₂, r ₂ – тела 2 и т. д. Аналогично, в кинематике и динамике u_B, a_B означают скорость и ускорение точки В; uC, а_C – точки С; w ₁, e ₁ – угловую скорость и угловое ускорение тела w ₂, e ₂ – тела 2 и т. д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи.

Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т. е. номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контроль­ные задания, даются для каждой задачи после ее текста под рубрикой «Указания», затем дается гример решения аналогичной задачи. Цель примера – разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми поясне­ниями; в конце должны быть даны ответы.

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

СТАТИКА

Задача С1

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С1.0 – С1.9, табл. С1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с момен­том М = 100 кН×м и две силы, значения, направления и точки прило­жения которых указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действует сила под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D, и сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке E, и т. д.).

Определить реакции связей в точках A, В, вызываемые действую­щими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.

Указания. Задача С1 – на равновесие тела под действием произ­вольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебре­гают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на составляю­щие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда

т_o () = m_o () + m_o ().

Рис.С1.0	Рис.С1.1
Рис.С1.2	Рис.С1.3
Рис. С1.4	Рис. С1.5
Рис. С1.6	Рис. С1.7
Рис. С1.8	Рис. С1.9

Таблица С1

Силы
F 1 = 10 кН	F 2 = 20 кН	F 3 = 30 кН	F 4 = 40 кН
Точка приложения	a1, град	Точка приложения	a2, град	Точка приложения	a3, град	Точка приложения	a4, град
	Н – К – D – E – H –	30 – 75 – 30 – 60 – 60 –	– D – K – H – D – E	– 15 – 60 – 30 – 60 – 75	– E – H – – K – D K	– 60 – 30 – – 15 – 30 30	K – E – E D – H – –	60 – 30 – 60 75 – 15 – –

 

Пример С1. Жесткая пластина ABCD (рис. С1) имеет в точке А не­подвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a= 60°, Р = 18 кН, g= 75°, М = 50 кН×м, b = 30°, а = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызы­ваемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем коорди­натные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на состав­ляющие , ( = F cosa, F" =F sina)и учтем, что m_A () = m_A (F¢)+ m_A(F"). Получим:

; (1)

; (2)

. (3)

Рис. C1

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: кН; Y_A – 23,3 кН; R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показан­ным на рис. С1.

 

Задача С2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 – С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6 – С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или гладкая плоскость (рис. 0 и 1), или невесомый стержень ВВ' (рис. 2 и 3), или шарнир (рис. 4–9); в точке D или невесомый стержень DD' (рис. 0, 3, 8), или шарнирная опора на катках (рис.. 7).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН×м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки при­ложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагруз­ка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СК).

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис. 0, 3, 7, 8 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончатель­ных расчетах принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Указания. Задача С2 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равно­весие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдель­ности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодей­ствия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и па­рой сил, момент которой тоже неизвестен.

 

Рис. С2.0	Рис. С2.1

 

Рис. С2.2	Рис. С2.3
Рис. С2.4	Рис. С2.5
Рис. С2.6	Рис. С2.7
Рис. С2.8	Рис. С2.9

Таблица С2

Силы					Нагружен-ный участок
F 1 = 10 кН	F 2 = 20 кН	F 3 = 30 кН	F 4 = 40 кН
Точка приложения	a1, град	Точка приложения	a2, град	Точка приложения	a3, град	Точка приложения	a4, град
	K – L – L – E – – H	60 – 15 – 30 – 60 – – 30	– L – K – L – H K –	– 60 – 30 – 75 – 60 30 –	H – K – E – K L – –	30 – 60 – 60 – 75 30 – –	– E – H – K – – E L	– 30 – 60 – 30 – – 15 60	CL CK AE CL CK AE CL CK CL CK

 

Таблица С2а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	рис. 0, 3, 5, 7, 8	рис. 1, 2, 4, 6, 9

 

Пример С2. На угольник ABC (Ð ABC = 90°), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. С2, а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила ,а к угольнику – равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Дано: F = 10 кН, М = 5 кН×м, q = 20 кН/м, а = 0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рас­смотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2, б). Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и сос­тавляющие и реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

S F_kx =0, X_D + F – N sin60 °=0; (1)

S F_ky =0, Y_D + N cos60° = 0; (2)

S m_D () = 0, N×2a – F× 5 a sin60° = 0. (3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2, в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой ,приложенной в середине участка KB (численно Q = q × 4 а = 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагаю­щаяся из силы, которую представим составляющими , и пары

Рис. С2

с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

S F_kx =0, X_А + Q cos60 ° + N ¢sin60 °=0; (4)

S F_ky =0, Y_A – Q cos60 ° – N ¢cos60° = 0; (5)

S m_A () = 0, M_A + M+Q × 2 a+ N ¢cos60 ° × 4 a +N ¢sin60 ° × 6 a = 0. (6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1) – (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N' = N в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: N = 21,7кН, Y_D = –10,8 кН; X_D= 8, 8кН, Х_А = –26,8 кН, Y_A = =24,7 кН, М_A = – 42,6 кН×м.

Знаки указывают, что силы , и момент М_A направлены противоположно показанным на рисунках.

 

Задача С3

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С3.0 – С3.9, табл. С3). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж­ны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила обра­зует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно a ₁ = 45°, b ₁ = 60°, g ₁ = 60°, а сила – углы a ₂ = 60°,
b ₂ = 45°, g ₂ = 60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. С3.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху,– квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол j = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол q = 51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LM, LA, LB; MA, MC, MD. Там же показаны
углы j и q.

Указания. Задача С3 – на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противо­действия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро­вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, N ₁, N ₂и т.д.).

Таблица С3

Номер условия
Узлы	H, M	L, M	K, M	L, H	K, H
Стержни	НМ, НА, НВ, МА, МС, MD	LM, LA, LD, MA, MB, MC	КМ, КА, КВ, МА, МС, MD	LH, LC, LD, HA, HB, HC	KH, KB, KC, HA, HC, HD
Номер условия
Узлы	М, Н	L, H	K, H	L, M	K, M
Стержни	МН, МВ, МС, НА, НС, HD	LH, LB, LD, HA, HB, HC	KH, KC, KD, HA, HB, HC	LM, LB, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KD, MA, MB, MC

 

 

Рис. С3.0	Рис. С3.1	Рис. С3.2
Рис. С3.3	Рис. С3.4	Рис. С3.5
Рис. С3.6	Рис. С3.7	Рис. С3.8
Рис. С3.9	Рис. С3.10

Пример С3. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,... 6, соединенных друг с другом (в узлах К и М)и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С3). В узлах К и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р=100 Н, a ₁ = 60°, b ₁ = 60°, g ₁ = 45°; Q = 50 Н, a ₂ = 45°,
b ₂ = 60°, g ₂= 60°, y = 30°, j = 60°, d = 74°. Опреде­лить: усилия в стержнях 1 – 6.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реакции , , стерж­ней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растя­нутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной систе­мы сходящихся сил:

; (1)

; (2)

; (3)

Рис. С3

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим N₁ = 349 Н, N₂ = – 345 Н, N₃ = 141 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно ,численно же = . Составим уравнения равно­весия:

; (4)

; (5)

; (6)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость хОу (по числовой величине = ), а затем найденную проек­цию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что N' ₂= N ₂ =
= – 345 Н, найдем, чему равны N ₄, N ₅, N₆.

Ответ: N ₁= 349 Н; N ₂= – 345 Н; N ₃ = 141 Н; N ₄ = 50 Н; N ₅ = 329 Н; N ₆= –66 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты, остальные – растянуты.

Задача С4

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем l (рис. С4.0 – С4.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты P ₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р ₂= 3 кН. Каждая из плит расположена парал­лельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху – горизон­тальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН×м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле­ния и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы и ле­жат в плоскостях, параллельных плоскости ху,сила – в плоскости, параллельной xz, и сила – в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е, Н, К)находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках А и В иреакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Указания. Задача С4 – на равновесие тела под действием произ­вольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляю­щие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении мо­мента силы часто удобно разложить ее на две составляющие и ,параллельные координатным осям (или на три); тогда, по теореме Вариньона, m_x () = m_x () + m_x () и т. д.

 

Рис. С4.0	Рис. С4.1
Рис. С4.2	Рис. С4.3

 

Рис. С4.4	Рис. С.4.5
Рис. С4.6	Рис. С4.7
Рис. С4.8	Рис. С4.9

 

Таблица С4

Силы
Номер условия	F 1 = 6 кН	F 2 = 8 кН	F 3 = 10 кН	F 4 = 12 кН
Точка прило-жения	a 1, град	Точка прило-жения	a 2, град	Точка прило-жения	a 3, град	Точка прило-жения	a 4, град
	Е		H		–	–	–	–
	–	–	D		E		–	–
	–	–	–	–	K		E
	K		–	–	D		–	–
	–	–	E		–	–	D
	H		K		–	–	–	–
	–	–	H		D		–	–
	–	–	–	–	H		K
	D		–	–	K		–	–
	–	–	D		–	–	H

 

Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', На плиту в плоскости, параллельной xz, действует сила ,а в плоскости, параллельной yz, – пара сил с моментом М.

Дано: Р = 3 кН, F = 8 кН, М = 4 кН×м, a = 60°, АС = 0,8 м, AВ = 1,2 м, BE = 0,4 м, EH = 0,4 м. Определить: реакции опор А, В и стержня DD ¢.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара с моментом М,а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , , ,цилиндрического (подшипника) – на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от D к D', предполагая, что он растянут.

 

2. Для определения шести неизвестных реак­ций составляем шесть
уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

;

(5)

(6)

Рис. С4

Для определения моментов силы относительно осей разлагаем ее на составляющие и , параллельные осям х и z (F ¢ = F cosa, F"= F sina), и применяем теорему Вариньона (см. «Указания»). Ана­логично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех за­данных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А = 3,4 кН; Y_А = 5,1 кН; Z_A = 4,8 кН; Х_B = – 7,4кН; Z_B = 2,1 кН; N= 5,9 кН. Знак минус указывает, что реакция на­правлена противоположно показанной на рис. С4.

 

КИНЕМАТИКА

Задача K1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К.1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0 – К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f ₁(t), у = f ₂(t). где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Таблица К1

Номер условия	y = fz (t)	s = f (t)
рис. 0–2	рис. 3–6	рис. 7–9

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t ₁= 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­мальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траек­тории.

Зависимость х = f ₁(t)указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f ₂(t) дана в табл. K1 (для рис. 0–2 в столбце 2, для рис. 3–6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в задачах С1– С4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

 

Рис. К1.0	Рис. К1.1	Рис. К1.2
Рис. К1.3	Рис. К1.4	Рис. К1.5
Рис. К1.6	Рис. К1.7	Рис. К1.8
	Рис. К1.9

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону s = f ₁(t), заданному в табл. К1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s = AM – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t ₁ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы и ,считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s – от А к М.

Указания. Задача K1 относится к кине­матике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t ₁= 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упро­щения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:
cos2 a =1–2sin² a =2cos² a –1; sin2 a = 2sin a cos a.

Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

,

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t ₁ = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное инормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1.Для определения уравнения траектории точки исклю­чим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

, ,

следовательно,

.

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а):

(2)

Рис. К1а

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

,

;

и при t ₁ = 1 с

см/с, см/с, см/с.

3. Аналогично найдем ускорение точки:

, ;

и при t ₁ = 1 c

см/с², см/с², см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство .Получим

,

откуда

. (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выра­жения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t ₁= 1 c = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда
найденные числовые значения и получим, что при t ₁= 1 с см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и , найдем, что при t ₁= 1 с см.

Ответ: = 1,33 см/с, = 0,88 см/с², = 0,66 см/с², см/с², см.

Пример К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону (s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (рис. К1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени t ₁= 1 с.

Решение. Определяем скорость точки:

.

Рис. К1б

При t ₁= 1 с получим м/с.

Ускорение находим по его касательной инормальной составляющим:
.

.

При t ₁= 1 с получим, учтя, что R = 2 м,

0,87 м/с², 0,62 м/с².

Тогда ускорение точки при t ₁= 1 с будет

1,07 м/с².

Изобразим на рис. К1б векторы и , учитывая знаки и исчитая положительным направление от А к М.

 

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1 – 3, находящихся в за­цеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и гру­за 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 – К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответ­ственно: у колеса 1 – r ₁= =2см, R ₁= 4 см, у колеса 2 – r ₂ = 6 см, R ₂ = 8 см, у колеса 3 – r ₃ = 12 см, R₃ = = 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изме­нения скорости ведущего звена механизма, где j₁(t) – закон вращения колеса 1, s₄ (t)– закон движения рейки 4, w₂(t) – закон изменения углово