Наращение по простой процентной ставке

Методические рекомендации. Финансовая математика. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ.

Определение 1.1. Процентные ставки называются простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.

При начислении процентных ставок используют два метода: метод наращения и метод дисконтирования.

Наращение по простой процентной ставке

Метод наращения используется для простых ставок ссудных процентов, которые обычно применяются в краткосрочных операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом и составляет, как правило, меньше года.

Введем обозначения:

Р– современная величина денег, или величина первоначальной денежной суммы;

I (Interest) – сумма процентных денег, выплачиваемых за год.

Простая годовая ставка ссудного процента (далее просто процентная ставка) будет определяться по формуле

i= *100%

где (Interest) – процент, (Rate) – ставка.

В дальнейшем мы будем использовать относительную величину процентной ставки (десятичную дробь): вместо I = 10% будем писать I = 0,1 Обозначим через продолжительность периода начисления процента в годах. Тогда общая сумма процентов за весь период начисления равна:

I= Pin

Обозначим через S будущее значение денег (наращенная сумма) и запишем формулу для ее нахождения:

S = P + I

Отношение будущей суммы к текущей сумме называется коэффициентом наращения и обозначается следующим образом:

k =

Учитывая предыдущие формулы, получим окончательный вид для определения наращенной суммы по годовой процентной ставке.

S = P (1 + ni) (1)

Из предыдущей формулы найдем коэффициент наращения:

k = 1 + n i

Обозначим через t– продолжительность периода начисления в днях, K– продолжительность года в днях, эта величина называется временной базой для расчета процентов, когда срок проведения операции корректируется по формуле

n =

С учетом этого основная формула для определения наращенной суммы для краткосрочной операции, сроком менее одного года будет иметь вид:

S =P (1 + i) (2)

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции различают точный или коммерческий процент.

Точный процент получают, когда временная база равняется фактическому числу дней в году (365 или 366), а в качестве берется точное число дней ссуды. Дата выдачи и дата погашения ссуды считается за один день. Точное число дней ссуды определяется по специальной таблице, где указывается порядковый номер каждого дня года.

Обыкновенный, или коммерческий, процент получают, если в качестве временной базы Киспользуют условный или финансовый год, который равен 360 дням (каждый месяц по 30 дней).

Срок операции в днях может быть приблизительным (каждый месяц по 30 дней) и точным. Таким образом, в зависимости от параметров и возможны следующие варианты начисления процентов:

1. или – точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году;(английская практика)

2. – точное число дней проведения операции и финансовый год;(французская практика)

3. – приблизительное число дней и финансовый год.(германская практика)

Приблизительное число дней проведения операций используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа, а обыкновенный или коммерческий процент более удобно использовать в аналитических расчетах. Точные проценты обычно используются в официальных методиках Центрального банка России.

Пример 1. Ссуда в размере 50 тысяч денежных единиц выдана на 6 месяцев по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Используем формулу (1)

S =50 000(1+0,28∙0,5)=57 000(руб.).

Ответ. Наращенная сумма равна 57 000руб.

 

Пример 2. Кредит в размере 10 миллионов рублей выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых. Год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процента.

Решение. Точный процент находим по формуле; ; FV =10 000 000(1+0,30∙284/360)=12 327 868 (руб.)

Коммерческий процент с точным числом дней в году найдем по формуле (2) t=284 дня

S = 10 000 000 (1+ 0,3∙284/360)=12 366 666 (руб.)

Коммерческий процент с приближенным числом дней в году найдем по формуле t =(30 дней.∙8 мес.=240)+(29 дней. марта)+(11 дней. декабря)= 240+40=280;S= 10 000000 (1+ 0,3∙280/360) = 12 333333 (руб.).

Ответ. Наращенная сумма, полученная при начислении точного процента равна 12 327 868руб. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с точным числом дней в году равна 12 366‍ 666руб. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с приближенным числом дней в году равна 12 333 333руб.

 

Пример 3. Найти сумму простого процента начисляемого за ссуду 3 000 руб. на 5 месяцев при годовой ставке 7%.

Ответ. Сумма простого процента составит 87,5руб.

Пример 4. Найти точный простой процент и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней при годовой процентной ставке 4 %.

Решение. Используем формулу (1)

Ответ. Сумма простого процента составит 54,8руб, а наращенная сумма – 5 054,8руб.

 

Пример 5. Человеку, который инвестировал 100 000 руб, возмещено 101 000 руб. девяноста днями позже. С какой годовой ставкой зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте?

Решение. Итак, нам известны S= 101 000, P= 100 000? t = 90,

n = t / 360 = 90/360=1/4 = 0,25. Воспользуемся формулой I= Pin

 

i = 0,04 или 4 % годовых.

 

 

1.2. Метод дисконтирования по простым процентам. Математическое дисконтирование (PV по r)

Определение 1.2 Дисконтированием называют приведение стоимостного показателя, относящегося к будущему на некоторый более ранний промежуток времени (т.е. по величине S находим P). В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается.

Процесс начисления процентов и их удержание в этом случае называют учетом, а сами удержанные проценты – дисконтом.

Величину P, найденную с помощью дисконтирования, называют современной капитализированной стоимостью

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

1) математическое дисконтирование (используется обычная процентная ставка I);

2) коммерческое дисконтирование, или банковский учет, (применяется учетная процентная ставка ).

Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины Pпо известным величинам S, I и числа периодов , то есть из формулы S = P (1 + ni) (1)

следует P = или P =

Разность между будущей и текущей суммами называют дисконтом

D = S - P

Пример 1. Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком и дисконт (сумма процентных денег), если требуется вернуть 40 млн.руб.

Решение. Р = (руб.);

Тогда разность между будущей и текущей суммами будет равна D=S- P= 6044142(руб).

Ответ. Сумма, полученная заемщиком, составит 33 955 857 руб., сумма процентных денег – 6 044 142 руб.

Пример 2. Через 60 дней после займа Иванов выплатил ровно 10 000рублей. Сколько было занято, если 10 000 денежных единиц включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12 %?

Ответ. Сумма займа составляет 9 803,9рублей.