1). Коммутативность: 
, следует из определения.
2). 
.
Доказательство. 
.
3). 
Доказательство. 
.
4). 
Доказательство. 
.
Из этого свойства следует, что 
, 
.
5). Для того, чтобы векторы были перпендикулярны 
, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю 
.
Доказательство.
а) Пусть векторы перпендикулярны и 
, тогда 
,следовательно, 
и .
б) Пусть , тогда , следовательно, 
.
6). 
- острый;
- тупой.
7.Для базисных ортов имеют место следующие соотношение
Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат
Пусть даны два вектора 
, найдем их скалярное произведение
воспользуемся свойством 7, получим формулу
(2)
Приложения скалярного произведения
1.Вычисление проекции
(3)
2.Вычисление косинуса угла между векторами
(4)
3.Условие перпендикулярности векторов
Пример. Даны векторы 
и 
. Найти косинус угла между векторами.
Решение. Воспользуемся формулой (2.19): вычисляем
, 
,
Получаем 
.
Лекция 5
7. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление.
Даны три вектора 
с общим началом и не лежащие в одной плоскости.
Определение 1. Тройка векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от 
к 
виден из конца вектора 
происходящим против (по) часовой стрелки.
Если в тройке поменять местами какие-то два вектора, а третий оставить на своем месте, то тройка изменит свою “ориентацию”. Например, если - правая тройка, то 
- левая тройка. При циклической перестановке векторов в тройке “ориентация” тройки не меняется. Например, если - правая тройка, то 
- тоже правая тройка.
Смысл декартовой тройки 
должен соответствовать выбранному правилу.
Определение 2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим свойствам:
1. он перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости векторов и ;
2. длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть 
;
3. тройка - правая.
Обозначения 
или 
.
Свойства векторного произведения
1) Антикоммутативность: 
Доказательство. Пусть , построим вектор 
. 
, то есть
длины векторов и 
равны, но чтобы тройка векторов 
была правой, вектор должен быть противоположен вектору , следовательно, 
.
2). Если в векторном произведении изменить знак одного из множителей, то произведение тоже изменит знак: 
.
Доказательство.
3). 
Доказательство. а) Для 
очевидно;
б) для 
: если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в 
раз, то площадь параллелограмма тоже изменится в раз;
в) для 
: 
.
4). 
.
Доказательство. Возьмем единичный вектор 
, перпендикулярный плоскости 
, 
. Спроектируем вектор на плоскость , получим вектор 
, повернем его в плоскости вокруг точки 
по часовой стрелке на 
: а) 
;
б) 
(так как 
, 
(так как 
, а - проекция тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);
в) 
- правая тройка, следовательно, 
.
Вектор 
. В 
. Спроектируем данный треугольник на плоскость , получим 
, повернем его в плоскости по часовой стрелке на ,
получим 
. 
.
Так как 
, то 
.
, тогда 
, следовательно,
.
5). 
.
6). Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.
Доказательство.
а) Пусть векторы и коллинеарны, следовательно, 
или
, тогда 
и 
, нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть 
;
б) Пусть 
, тогда , но 
, следовательно,
, а это значит, что и коллинеарны.
7). 
.
8). Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:
| 
| 
| |
|
| 
|
| -
|
|
| 
|
|
|
|
|
| 
|
|
Пояснение: векторное произведение 
- это вектор, перпендикулярный векторам и , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах и , то есть равна 1, а тройка векторов - правая тройка, отсюда следует, что 
. Остальные произведения можно получить, используя свойства векторного произведения.
