Все характеристические корни симметрической матрицы действительны.

Симметрические преобразования

Линейное преобразование j п- мерного евклидова пространства называется симметрическим или самосопряженным, если для любых векторов a, b этого пространства имеет место равенство

(a j, b) = (a, b j) (1)

то есть символ симметрического преобразования можно переносить с одного множителя на другой.

Примерами симметрических преобразований служат, очевидно, тождественное преобразование и нулевое преобразование. Более общим примером является линейное преобразование, при котором всякий вектор умножается на фиксированное число a, то есть а j = a а. Действительно, в этом случае

(a j, b) = (a a, b) = a (a, b) = (a, a b) = (a, b j)

Теорема. Симметрическое преобразование евклидова пространства в любом ортонормированном базисе задаётся симметрической матрицей. Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задаётся симметрической матрицей, то это преобразование симметрическое.

Пусть симметрическое преобразование j задаётся в ортонормированном базисе е ₁, е ₂,…, е_п матрицей А = (a _ij). Учитывая, что в ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответственных координат этих векторов, получаем

то есть, ввиду (1), a _ij = a _ji для всех i и j. Матрица А, таким образом, оказывается симметрической.

Пусть теперь линейное преобразование j задаётся в ортонормированном базисе е ₁, е ₂,…, е_п симметрической матрицей А = (a _ij),то есть a _ij = a _ji для всех i и j. Если – любые векторы пространства, то

,

Используя ортонормированность базиса е, получаем

,

Так как a _ij = a _ji для всех i и j, правые части последних равенств совпадают, а поэтому (b j, c) = (b, c j), что и требовалось доказать.

Из полученного результата вытекает следующее свойство симметрических преобразований:

Сумма симметрических преобразований, а также произведение симметрического преобразования на число являются симметрическими преобразованиями.

Теорема. Все характеристические корни симметрического преобразования действительны.

Так как характеристические корни любого линейного преобразования сов-падают с характеристическими корнями матрицы этого преобразования в любом базисе, с симметрическое преобразование задаётся в ортонормированных базисах симметрическими матрицами, то достаточно доказать следующее утверждение:

Все характеристические корни симметрической матрицы действительны.

Доказательство. Пусть l₀ будет характеристическим корнем, может быть комплексным, симметрической матрицы А = (a _ij), то есть, ç А – l₀ Е ç = 0. Тогда система линейных однородных уравнений с комплексными коэффициентами

имеет равный нулю определитель, то есть обладает ненулевым решением b₁,b₂,…,b _п, вообще говоря, комплексным. Таким образом,

(3)

Умножая обе части каждого i- го из равенств(3) на число , сопряженное с числом b _i, и складывая отдельно левые и правые части всех получившихся равенств, приходим к равенству

, (4)

Коэффициент при l₀ в (4) является отличным от нуля действительным числом, будучи суммой неотрицательных действительных чисел, хотя бы одно из которых строго положительно. Действительность числа l₀ будет поэтому доказана, если мы докажем действительность левой части равенства (4), для чего достаточно показать, что это комплексное число совпадает со своим сопряженным. Здесь используется симметричность действительной матрицы А.

Предпоследнее равенство получено переменой обозначений для индексов суммирования: вместо i поставлено j, а вместо j поставлено i. Теорема доказана.

Линейное преобразованиеj евклидова пространства Еп тогда и только тогда будет симметрическим, если в пространстве Еп существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого преобразования.

Доказательство. Если в Е_п существует ортонормированный базис е ₁, е ₂,…, е_п, причём е_i j = l _i е_i, i = 1,2,…, n, то в базисе е преобразование j задаётся диагональной матрицей . Диагональная матрица является симметрической, поэтому преобразование j задаётся в ортонормированном базисе е симметрической матрицей, то есть будет симметрическим.

Обратное утверждение теоремы будем доказывать индукцией по размерности п пространства Е_п. При п = 1 всякое линейное преобразование j пространства Е ₁ непременно переводит любой вектор в вектор, ему пропорциональный. Отсюда следует, что всякий ненулевой вектор а будет собственным вектором для j, как следует и то, что всякое линейное преобразование пространства Е ₁ будет симметрическим. Нормируя вектор а, получим искомый ортонормированный базис пространства Е ₁.

Пусть утверждение теоремы уже доказано для (п – 1)-мерного евклидова пространства и пусть в пространстве Е_п задано симметрическое преобразование j. Из доказанной выше теоремы вытекает существование для j действительного характеристического корня l₀. Это число будет, следовательно, собственным зна-чением для преобразования j. Если а – собственный вектор преобразования j, относящийся к этому собственному значению, то и всякий ненулевой вектор, про-порциональный вектору а, будет для j собственным вектором, относящимся к тому же собственному значению l₀, так как (a а) j = a (а j) = a (l₀ а) = l₀(a а). В частности, нормируя вектор а, получим такой вектор е_i, что е ₁ j = l₀ е ₁, что е ₁j = l₀ е ₁, (е ₁, е ₁) = 1. Ненулевой вектор е ₁ можно включить в ортогональный базис

е ₁, е ¢₂,…, е ¢ _п (5)

пространства Е_п. Те векторы, первая координата которых в базисе (5) равна нулю, то есть векторы вида a₂ е ₂¢ + …+ a _па ¢ _п, составляют, очевидно, (п – 1)-мерное линейное подпространство пространства Е_п, которое обозначим через L. Это будет (п – 1)-мерное евклидово пространство, так как скалярное произведение, определённое для всех векторов Е_п, определено и для векторов из L, причём обладает всеми необходимыми свойствами.

Подпространство L состоит из всех тех векторов пространства Е_п, которые ортогональны вектору е ₁. Действительно, если а = a₁ е ₁ + a₂ е ₂¢ + …+ a _па ¢ _п, то ввиду ортогональности базиса (5) и нормированности вектора е ₁,

(е ₁, а) = a₁(е ₁, е ₁) +a₂¢(е ₁, е ₂¢) + …+ a _п ¢(е ₁, е_п ¢) = a_1,

то есть (е ₁, а) = 0 тогда и только тогда, если a₁ = 0. Если вектор а принадлежит подпространству L, то есть (е ₁, а) = 0, то и вектор а j содержится в L. Действительно, ввиду симметричности преобразования j,

(е ₁, а j) = (е ₁ j, а) = (l₀ е ₁, а) = l₀ (е ₁, а) = l₀0 = 0,

то есть вектор а j ортогонален е ₁ и поэтому содержится в L. Это свойство подпространства L, называемое его инвариантностью относительно преобразования j, позволяет считать j, рассматриваемое лишь в применении к векторам из L, линейным преобразованием этого (п – 1)-мерного евклидова пространства. Оно будет симметрическим преобразованием пространства L, так как равенство (1) выполняясь для любых векторов Е_п, будет выполняться, в частности, для векторов, лежащих в L.

В силу индуктивного предположения в пространстве L существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования j; обозначим его через е ₂,…, е_п. Все эти векторы ортогональны вектору е ₁, и поэтому е ₁, е ₂,…, е_п будет искомым ортонормированным базисом пространства Е_п, состоящим из собственных векторов преобразования j. Теорема доказана.