Лекция 23.
Определение 23.1. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
. (23.1)
Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы
. Тогда системе (23.1) эквивалентно матричное уравнение 
. (23.2)
Если же рассмотреть линейный оператор 
, уравнение (23.2) примет вид:
. (23.3)
Так как оператор L обладает свойствами линейности:
1) L [ cX ] = cL [ X ];
2) L [ X1 + X2 ] = L [ X1 ] + L [ X2 ],
то для решений линейной однородной системы (23.3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х1 и Х2 – решения однородного уравнения (23.3), то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.
Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х1, Х2,…, Хп:
Определение 23.2. Векторы (столбцы) Х1, Х2,…, Хп, где
, называются линейно зависимыми при 
, если существуют числа α1,α2,…, α п, не все равные нулю, что
α1Х1 + α2Х2 +…+ αпХп ≡ 0 (23.4)
при . Если же тождество (23.4) справедливо только при всех αi = 0, векторы называются линейно независимыми.
Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида
, (23.5)
являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х1, Х2,…, Хп линейно зависимы на [ a,b ]. Тогда справедлива следующая теорема:
Теорема 23.1. Линейная комбинация 
п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.
Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
(23.6)
в виде: 
, (23.7)
где αi – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на ekt, получим:
. (23.8)
Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:
, (23.9)
что представляет собой уравнение п – й степени относительно k, называемое характеристическим.
Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения 
и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β1, β2,…, βп такие, что
, то в силу линейной независимости функций 
отсюда следовало бы, что 
для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из 
не равно нулю, получаем, что все 
. Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: 
, (23.10)
где ci – произвольные постоянные.
Пример.
. Составим характеристическое уравнение: 
k1 = 1, k2 =5. Для k = 1 получаем систему для определения 
: 
, то есть
. Примем 
, тогда 
. При k = 5 
,
. Тогда 
. Следовательно, общее решение системы имеет вид: 
.
В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид
, где γ – кратность корня ks.
Пример.
. Характеристическое уравнение имеет вид: 
k1 = k2 = 3. Пусть x = (c1 + c2 t) e3t, y = (c3 + c4 t) e3t. Выразим постоянные с3 и с4 через с1 и с2. Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e3t и te3t: (3 c1 + c2 + 3 c2t) e3t = (2 c1 + c3) e3t + (2 c2 + c4) te3t, c3 = c1 + c2,
c4 = c2. Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c1 + c2 t) e3t, y = (c1+ с2 + c2t) e3t.
Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.
Пример.
. Найдем частное решение в виде: 
. При подстановке получим: 
, откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c1et + 2 c2e4t + 3 e5t, y = -c1et + c2e4t + e5t.
Лекция 24.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.
Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.
Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений
(24.1)
с начальными условиями yi (t0) = yi0.
Определение 24.1. Решение φi (t) (ǐ = 1,2,…, n) называется устойчивым по Ляпунову, если
такое, что для всякого решения yi (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам 
, для всех 
справедливы неравенства 
(24.2)
(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех ).
Если хотя бы для одного решения yi (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φi (t) называется неустойчивым.
Если решение φi (t) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию
(24.3)
при 
, то это решение называется асимптотически устойчивым.
Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.
Фазовая плоскость.
Дифференциальное уравнение второго порядка
(24.4)
равносильно системе уравнений первого порядка
. (24.5)
Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости 
. Особенно удобно такое представление в случае, когда функция 
не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид
(24.6)
и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка
, (24.7)
которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой.
Точки покоя.
Определение 24.2. Точка 
фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если 
и 
дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка 
называется особой точкой, если 
и 
.
Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.
Исследование на устойчивость некоторого решения 
системы (24.1) можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: 
- отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (24.1) принимает вид:
, 
(24.8)
Простейшие типы точек покоя.
Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
, где 
. (24.9)
Характеристическое уравнение при этом имеет вид:
.
Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:
1) k1 и k2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (24.9) можно задать так: 
. При этом возможны следующие случаи:
а) если k1 < 0 и k2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как 
, и все точки, находящиеся в начальный момент t = t0 в любой δ – окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой ε – окрестности начала координат, а при 
стремятся к началу координат. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.
 |
б) если k1 > 0, k2 > 0, можно свести исследование к предыдущему случаю заменой t на – t. При этом фазовые траектории имеют такой же вид, но направление движения меняется на противоположное, то есть при увеличении t точка удаляется от начала координат, поэтому подобная точка покоя – неустойчивый узел – неустойчива по Ляпунову.
в) при k1 > 0, k2 < 0 точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории
точка с возрастанием t выходит из ε – окрестности начала координат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом.
2) k1,2 = p ± qi. Тогда общее решение системы (24.9) можно представить в виде
, где 
- линейные комбинации произвольных постоянных с1, с2. При этом возможны следующие случаи:
а) p < 0, q ≠ 0. Тогда 
при , а тригонометрические функции являются ограниченными. Поэтому фазовые траектории являются спиралями, асимптотически приближающимися при к началу координат. Таким образом, точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.
б) p > 0, q ≠ 0. Изменяется направление движения по фазовым траекториям, следовательно, точки удаляются от начала координат и точка покоя неустойчива – неустойчивый фокус.
в) р = 0. Траекториями являются замкнутые кривые, окружающие точку покоя, называемую в этом случае центром. Такая точка покоя устойчива, так как можно подобрать такое δ, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в δ – окрестности начала координат, не выходят за пределы ε – окрестности начала координат (x ² (t) + y ² (t) < ε²).
3) Корни кратны: k1 = k2.
а) k1 = k2 < 0. Тогда общее решение 
стремится к нулю при , и точка покоя вновь называется устойчивым узлом. При 
получаем частный случай устойчивого узла – так называемый дикритический узел.
б) k1 = k2 > 0. Направление движения по траекториям меняется - неустойчивый узел.
