Задача 3. Векторы и простейшие действия над ними

Расчетно-графическая работа № 2

Задача 1. Прямоугольные и полярные координаты.

1. Даны концы отрезка АВ: А (1), В (5); вне отрезка АВ расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С.
2. Определить расстояние между точками М (3) и N (-5).
3. Определить расстояние между точками Р и Q .
4. Двумя точками отрезок АВ разделили на три равные части. Определить координаты точек деления, если А (-1), В (5).
5. Даны точки А (-7), В (-3). Вне отрезка АВ расположены точки C и D, причем СА = BD = . Определить координаты точек С и D.
6. Определить расстояние между точками А (3; 8) и В (-5, 14).
7. Показать, что треугольник АВС с вершинами А (-3; -3), В (-1; 3), С (11; -1) – прямоугольный.
8. Даны концы отрезка АВ: А (-2; 5), В (4; 17). На отрезке АВ расположена точка С, расстояние которой от точки А в два раза больше расстояния от точки В. Определить координаты точки С.
9. Серединой отрезка АВ является точка С (2; 3). Определить координаты точки А, если В (7; 5).
10. Даны вершины треугольника АВС: А , В , С . Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.
11. Определить площадь треугольника с вершинами А (-2; -4), В (2; 8), С (10; 2).
12. Построить на координатной плоскости точки А , В , С , D .
13. Определить расстояние между точками:

а) А (2; 3) и В (-10; -2);

б) А и В .

1. Показать, что треугольник с вершинами А (2; -1), В (4; 2), С (5; 1) – равнобедренный.
2. Даны вершины треугольника: А (-1; -1), В (0; -6) и С (-10; 2). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
3. Даны концы отрезка АВ: А (-3; 7) и В (5; 11). Тремя точками отрезок разделили на четыре равные части. Определить координаты точек деления.
4. Найти площадь треугольника с вершинами А (1; 5), В (2; 7), С (4; 11).
5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (11; 4), В (-1; -1), С (5; 7). Определить координаты четвертой вершины.
6. Даны две вершины треугольника А (3; 8) и В (10; 2) и точка пересения медиан М (1; 1). Найти координаты третьей вершины треугольника.
7. Даны вершины треугольника: А (7; 2), В (1; 9) и С (-8; -11). Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треугольника.
8. Точки L (0; 0), М (3; 0) и N (0; 4) являются серединами сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.
9. Построить точки, заданные полярными координатами: А , В , С , D , E , F .
10. Найти полярные координаты точки М , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительным направлением оси абсцисс.
11. Найти прямоугольные координаты точки А , определяемой полярными координатами, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.
12. Построить точки А , В , С , D , E , F .
13. Даны полярные координаты точки М . Найти ее прямоугольные координаты, если начало координат совпадает с полюсом, а ось Ох – с полярной осью.
14. Даны полярные координаты точки М . Найти ее декартовы координаты.
15. Определить расстояние между точками М₁ и М₂ .

Задача 2. Прямая линия.

1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси координат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .

2. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки , .

3. Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках; в) нормальное уравнение.

4. Построить прямые: а) ; б) ; в) ; г) .

5. Дано уравнение прямой . Написать: а) общее уравнение этой прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г)нормальное уравнение.

6. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая ?

7. Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.

8. Можно ли уравнение прямой записать в отрезках?

9. Построить прямые: а) ; б) ; в) ; г) .

10. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси координат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .

11. Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8.

12. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку А (-2; -3).

13. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 5) и отсекающей на оси координат отрезок .

14. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (-3; -4) и параллельных осям координат.

15. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между осями координат, равна .

16. Определить угол между прямыми и .

17. Показать, что прямые и параллельны.

18. Показать, что прямые и перпендикулярны.

19. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (-1; 3) и N (2; 5).

20. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-2; 4) и В (-2; -1).

21. Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

22. Определить расстояние от точки М до прямой , не пользуясь нормальным уравнением прямой.

23. Определить расстояние от точки М (1; 2) до прямой .

24. Дана прямая . Какие из точек А , В (3; 2), С (1; -1), D (0; -2), E (4; 3), F (5; 2) лежат на этой прямой.

25. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-2; -5) и пралллельной прямой

26. Даны вершины треугольника: А (2; 2), В (-2; -8) и С (-6; -2). Составить уравнение медиан треугольника.

27. Даны вершины треугольника: А (0; 1), В (6; 5) и С (12; -1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

28. Даны стороны треугольника: (АВ), (ВС), (АС). Найти длину высоты, проведенной из вершины В.

29. Определить расстояние между параллельными прямыми и .

30. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми и .

31. Даны вершины треугольника: А (1;1), В (10; 13), С (13; 6). Составить уравнение биссектрисы угла А.

32. Даны уравнения высот треугольника АВС: ; и координаты вершины А (2;2). Составить уравнения сторон треугольника.

33. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (5; 1) и образующих с прямой угол .

34. Найти прямую, принадлежащую пучку и проходящую через точку М (1; 1).

Задача 3. Векторы и простейшие действия над ними

1. В треугольнике АВС сторону АВ точками М и N разделили на три равные части: АМ = MN = NB. Найти вектор , если , .
2. В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти , если , .
3. Радиусами-векторами треугольника АВС являются r₁, r₂ и r₃. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.
4. Найти длину вектора а = 20 i + 30 j – 60 k и его направленные косинусы.
5. Найти ветор а = , если А (1; 2; 3) и В (5; 8; -1).
6. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что . Найти , если , .
7. Дано , , . Доказать, что АВСD – трапеция.
8. Найти проекции вектора а на оси координат, если а = , А (0; 0; 1), В (3; 2;1), С (4; 6; 5) и D (1; 6; 3).
9. Найти длину вектора a = m i + (m + 1) j + m (m + 1) k. Показать, что треугольник АВС равносторонний.
10. Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС: r_A = i + 2 j + 3 k, r_B = 3 i + 2 j + k, r_C = i + 4j + k.
11. Вычислить модуль вектора a = i + 2j + k - и найти его направляющие косинусы.
12. Даны точки М₁ (1; 2; 3) и М₂ (3; -4; 6). Найти длину и направление вектора .
13. Дан вектор а = 4 i – 2 j + 3 k. Найти вектор b, если b=a, b_y=a_y и b_x= 0.
14. Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60⁰, а с осью Oz угол 45⁰; длина его r = 8. Найти координаты точки М, если абсцисса ее отрицательна.