Задания к контрольной работе по высшей математике для студентов 1-го курса
Заочной формы обучения
Раздел 1. Теоретические основы
1. Прямая на плоскости. Вывод общего, параметрического и в отрезках уравнений прямой.
2. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
3. Общий вид уравнений второго порядка. Приведение его к каноническому виду.
4. Условия, определяющие тип кривой второго порядка по его каноническому виду.
5. Вектор. Длина вектора. Сложение векторов.
6. Понятие матрицы. Определитель. Вычисление значения определителя.
7. Система линейных уравнений. Неоднородная система уравнений. Правило Крамера.
8. Методы решения неоднородной системы уравнений.
9. Условия, при которых система не имеет решения, имеет бесконечное число решений.
10. Понятие системы линейных неравенств. Геометрический метод решения системы неравенств с двумя переменными.
Раздел 2. Задачи аналитической геометрии на плоскости.
1. Определить расстояние от точки А(1,2) до прямой 2у-5х+1=0
2. Определить угловой коэффициент между прямыми 3у-х+2=0 и -2у+4х-3=0
3. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой 6у+4х-3=0 и проходящей через точку А(-3,2)
4. Угловой коэффициент прямой равен 0,5. найти общее уравнение прямой, если она проходит через точку А(3,2)
5. Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки А(-1,-2) и В(0,3)
6. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка
X^2+3Y^2+4X-6Y+1=0 к каноническому виду и определить тип кривой, исходя их значений его коэффициентов.
7. Дана окружность X^2+Y^2=3 и прямая Y=-X+B, определить, при каком значении В прямая касается окружности
8. Кривая задана в параметрическом виде (X^2)/4-(Y^2)/2=1. Определить тип кривой и установить, имеются ли точки пересечения кривой с прямой 4Y-2X+1=0.
9. Дана кривая 3X^2+2X-4Y+1=0, определить точки пересечения кривой с осями координат.
10. Дана кривая 3X^2+ Y^2 + 2X-4=0. Перейти к новым координатам и привести уравнение к каноническому виду
Примечание. Для задач раздела обязательно сделать графики геометрических фигур.
Раздел 3. Решение систем линейных уравнений. Определить по правилу Крамера, имеет ли система единственное решение
Решить систему уравнений двумя методами. Выбор методов определяется двумя последними цифрами зачётки или порядковым номером студента в списке группы.
Условия и выбор методов
а) номер делится на 4 – метод Гаусса и с помощью определителей
б) номер делится на 3 - метод Гаусса и матричный метод
в) не отвечающие условиям а) – б) – матричный метод и с помощью определителей
1. 3x-2y+5z=1
x+4y+2z=-2
-3x-y+5z=6
2. 6x-2y+4z=3
2x+5y+2z=-1
2x+4y+z=2
3. 3x-5y+2z=6
2x+4y-2z=2
4x-y+3z=2
4. х+2y-4z=-1
-4x+5y+2z=10
2x-4y+3z=5
5. -2x+2y+6z=2
2x+-y+4z=3
-3x+5y+3z=6
6. 2x-2y-3z=2
2x+5y-8z=3
5x+4y+2z=2
7. 4x+5y+2z=4
x-2y+3z=2
2x-3y+3z=4
8. 2x-2y+4z=5
x++3y+2z=3
-2x+4y+3z=6
9. х+4y-3z=3
3x+y-8z=4
4x+4y-3z=2
10. x-2y+2z=2
2x-2y-3z=3
3x-2y+3z=4
Раздел 4. Решение системы линейных неравенств с двумя переменными графическим методом.
1. Найти область, ограниченную системой неравенств,
Х1-2Х2 < 6
4Х1-5Х2 > -2
2Х1+Х2 < 10
2Х1 > 7
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=3х+в, при котором точка касания прямой к области имеет максимальное значение у.
2. Найти область, ограниченную системой неравенств,
2Х1-2Х2 < 5
Х1+0,5Х2 < 10
Х2 < 3
2Х1+X2 > 7
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-4х+в, при котором точка касания прямой к области имеет минимальное значение у.
3. Найти область, ограниченную системой неравенств,
3Х1-2Х2 > 3
2Х1+1Х2 < 8
0,5Х1+ Х2 > 5
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-х+в, при котором точка касания прямой к области имеет максимальное значение у.
4. Найти область, ограниченную системой неравенств,
Х1 + Х2 > 2
2Х1-1,5Х2 < -7
0,5X1+Х2 < 5
Х1 < 4
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-3х+в, при котором точка касания прямой к области имеет минимальное значение у.
5. Найти область, ограниченную системой неравенств,
2Х1 + 2Х2 > 5
4Х1 +X2 < 15
0,5Х1+Х2 < 3
Х1 > 2
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=0,5х+в, при котором точка касания прямой к области имеет максимальное значение у.
6. Найти область, ограниченную системой неравенств,
5Х1-2Х2 > - 6
3Х1+ Х2 < 10
1,5X1+Х2 > 3
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-2х+в, при котором точка касания прямой к области имеет минимальное значение у.
7. Найти область, ограниченную системой неравенств,
-2Х1+2Х2 < 3
3Х1+ Х2 > 6
2Х1+ Х2 > 10
Х1 < 4
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-4х+в, при котором точка касания прямой к области имеет максимальное значение у.
8. Найти область, ограниченную системой неравенств,
-3Х1 + Х2 < -3
2Х1 + Х2 > 4
0,5X1+ Х2 > 5
1,5Х1 + X2 < 7
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=4х+в, при котором точка касания прямой к области имеет минимальное значение у.
9. Найти область, ограниченную системой неравенств,
-2Х1+ 1,5Х2 < -3
2Х1+ Х2 > 1
1,5Х1+ Х2 < 8
-3Х1 + X2 > 3
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=-5х+в, при котором точка касания прямой к области имеет максимальное значение у.
10. Найти область, ограниченную системой неравенств,
3Х1 – 2Х2 < 3
2Х1 - Х2 > -4
2X1 + Х2 < 6
3Х1 + X2 > 4
и определить значение коэффициента «в» в уравнении прямой у=х+в, при котором точка касания прямой к области имеет минимальное значение у.
Выбор номеров вопросов по разделам
Номер варианта (обозначим его буквой М) определяется двумя последними цифрами номера зачётной книжки или порядковым номером студента в списке группы.
Если значение этих цифр > 10, нужно вычесть число 10, и так до тех пор, пока не получится цифра в пределах от 1 до 10. В итоге значение М находится в пределе от 1 до 10, это номер вопроса первого раздела. Необходимо учитывать также, сколько раз вычиталось число 10. Значение количества вычетов обозначим Н.
Номер вопроса второго раздела определяется суммой М+Н, номер вопроса третьего раздела определяется суммой М+2Н, номер вопроса 4-го раздела – суммой М+3Н. Если сумма превышают значение 10 вычесть из нее число 10.
Например, значение двух последних цифр зачётки равно 83, чтобы определить номера вопросов нужно вычесть из этого значения число 10 восемь раза. Получим значение М равным 3, а значение Н равным 8. Номер вопроса первого раздела равен 3, номер вопроса второго раздела 3+8=11 и после вычета 10 – и получим число 1, номер вопроса третьего раздела равен 3+2*8=19 вычтем 10 и получим номер вопроса равный 9, номер вопроса четвёртого раздела равен 3+3*8=27 и после вычета 20 получим номер вопроса 7.
