Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или неопровергнуть, но не доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Основная гипотеза, которая проверяется, называется нулевой гипотезой и обозначается Н_{0 .}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Альтернативной гипотезой Н₁, называется гипотеза, конкурирующая с нулевой, то есть противоречащая ей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гипотезу, содержащую только одно предположение называют простой. Например, гипотеза Н₀: a=a₀- простая. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, Н₀: а>5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀ называется статистическим критерием проверки гипотезы Н₀.

Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки X₁,X₂,…,X_n, из которых формируют функцию выборки T_n=T(X₁,X₂,…,X_n), называемой статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем:

множество возможных значений статистики критерия T_n разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т.е. область отклонения гипотезы Н₀ и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке T_набл=T(X₁,X₂,…,X_n)) попадает в критическую область S, то основная гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н₁, если же Т_набл попадает в , то принимается Н₀, а Н₁ отклоняется.

Решение об отклонении и принятии статистической гипотезы принимается по выброчным данным. Поэтому приходится считаться и с возможностью ошибочного решения.

Различают ошибки двух родов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза Н₀, в то время как она верна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза Н_0, в то время как верной является альтернативная гипотеза Н₁.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вероятность допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости критерия и обозначается через a(альфа).

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через b(бета). Тогда a=Р(отвергнуть Н₀/Н₀ верна) или a=Р(Н₁/Н₀)

b=Р(принять Н₀/Н₀ неверна) или b=Р(Н₀ /Н₁)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Величина (1- b), то есть вероятность недопущения ошибки 2-го рода называется мощностью критерия. Следовательно, мощность - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна;

1-b=Р(принять Н₁/Н₁ верна)

чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно.

Естественным является желание выбрать a как можно меньше, но тогда вероятность ошибки второго рода b может оказатся слишком большой. Разумное соотношение между a и b находят, исходя из тяжести последствий каждой из ошибок.

1. Располагая выборкой X₁,X₂,…,X_n (исходя из содержания задачи) формируют нулевую гипотезу Н₀ и альтернативную Н₁.
2. Задается уровень значимости.
3. Для полученной реализации выборки Х=(X₁,X₂,…,X_n) подсчитывают значение критерия, то есть T_набл=T(X₁,X₂,…,X_n)=t. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия T_n=T(X₁,X₂,…,X_n) обычно из перечисленных ниже U-нормальное распределение, Х²-распределение хи-квадрат (Пирсона), t-распределение Стьюдента, F-распределение Фишера.
4. По статистике критерия T_n и уровню значимости a определяют критическую точку t_кр, то есть границу, отделяющую область S от . Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.
5. Если tÎS (например, t> t_кр для правосторонней области S), то нулевую гипотезу Н₀ отвергают; если же tÎ (t <t_кр), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу Н₀.