Враховуючи виродженість задачі (відсутнє відрахування прибутку), розв’язуємо її, починаючи від 1-го року і до кінця 3-го.

Функціональна схема задачі:

Етап 1.

Оскільки немає необхідності розраховувати прибуток окремо, то матимемо формулу для розрахунку максимальних ресурсів, що вкладатимуться в купівлю нового обладнання.

к₂ = ((a– b+g-q) х₁ + (b– q) к₁) =

= ((0,4– 0,42+0,7–0,6)х₁ + (0,42+ 0,6)к₁) =

= (0,08х₁+ 1,02 к₁) = 1,1 к₁

Як видно з останнього запису, - для отримання максимального прибутку від експлуатації обладнання в першому році, необхідно вкладати ресурси в обладнання І-го типу.

Етап 2.

Розраховуємо кошти, які вкладаються для купівлі нового обладнання на 3-ій рік:

к₃ = ((0,4-0,42+0,7–0,6)х₂ + (0,42 + 0,6)к₂) =

= (0,08х₂+ 1,02 к₂) = 1,1 к₂= 1,1 к₁ = 1,21 к₁

Залишки після трьох років діяльності підприємства складатимуть:

f₃= к₄ = 1,1 к₃= 1,331 к₁

Висновок: вкладаючи кошти для купівлі обладнання І-го типу, підприємство буде з прибутком.

3. Задача розподілу ресурсів за умови вкладання отриманих прибутків в розвиток автотранспортних підприємстві і відрахування прибутків на певних етапах їх діяльності.

Задамо вхідні параметри: a = 0,8; b = 0,75; g = 0,4; q = 0,5, Т= 3.

Сума прибутку, що отримується після 1-го і 3-го років, вкладається в розвиток підприємств, а після 2-го – відраховується до головного підприємства (залишок після останнього року до прибутку не додається). Шукаємо умовне оптимальне управління, починаючи з 3-го року.

Знайдемо умовне оптимальне управління, тобто підрахуємо залишки після кожного року діяльності підприємств, починаючи з третього року.

Етап 1.

f₃ = aх₃+ b(к₃– х₃) + gх₃ + q (к₃-х₃) = (a– b+g – q)х₃ + (b+q)к₃;

f₃_max= ((0,8-0,75+0,4– 0,5)х₃+(0,75+0,5)к₃)= (– 0,05х₃+1,25к₃) = 1,25к₃

При таких вхідних параметрах другому підприємству потрібно віддати всі ресурси, а перше залишити без дотацій: х₃= 0, у₃= к₃ і z₃ = 0.

Етап 2.

f₂º к₃ = (g– q)х₂ + q к₂ = (0,4 – 0,5)х₂ + 0,5к₂ = – 0,1х₂+ 0,5к₂

z₂ = (a– b)x₂+ bк₂ = 0,05х₂ + 0,5к₂

z₂_max = (0,05x₂ + 0,75к₂) = 0,8к₂

Щоб отримати максимальний прибуток, необхідно в перше підприємство вкласти всі ресурси, а в друге – нічого: х₂= к₂, у₂= 0.

Етап 3.

f₁ º к₂ = (– 0,05х₁+ 1,25к₁) = 1,25к₁

z₁ = 0; x₁ = 0; y₁ = к₁, тобто всі ресурси вкладатимуться в 2-е підприємство на першому році їх діяльності.

Висновок: при такому розподілі ресурсів підприємства матимуть прибуток після першого року діяльності, рівний 1,25 від початкового вкладу (К= к₁), який повністю вкладається в 1-е підприємство, і отриманий в кінці 2-го року прибуток, рівний

z₂_max = 0,8к₂ = = к₁ = К,

тобто рівний величині ресурсів, вкладених в обидва підприємства на початку планового періоду, відраховується до головного підприємства. Залишки після 2-го року діяльності підприємств, рівні

f₂ = к₃ = – 0,1х₂ + 0,5к₂= – 0,1к₂ + 0,5к₂=0,4к₂ = 0,4 = 0,5к₁ = 0,5К,

вкладаються в перше підприємство. Після 3-го року прибуток вкладається у виробництво 2-го підприємства і разом із залишками складатимуть суму, рівну

f₃ = 1,25к₃ = 1,25 = 0,625К.

Самостійні завдання

Самостійні завдання, що пропонуються, з дисципліни "Основи теорії систем та системного аналізу" мають на меті краще засвоєння матеріалу відповідного курсу лекцій. Завдання складаються з трьох розділів, які виконуються поступово при вивченні студентами відповідного розділу.

Самостійні завдання стосуються питань загальної теорії систем і математичних моделей, що їм відповідають.

1. Завдання на побудову математичних регресійних моделей систем. Завдання складається з двох задач і передбачає отримання лінійних математичних моделей систем за результатами експериментальних досліджень. Кількість отриманих пар значень змінних входу та змінної виходу дорівнює 7 і залишається незмінною для всіх варіантів.

Задача 1. Були проведені експериментальні дослідження впливу розмірів інвестицій в розвиток виробництва підприємства (x₁ в тис. гривень) та основних фондів підприємства (x₂ в тис. грн.) на отриманий річний прибуток (y в тис. грн.). Аналіз було здійснено за показниками сімох підприємств приблизно однакового роду діяльності.

Дані експериментальних досліджень приведені в таблицях варіантів.

Варіант 1

y: 960 1260 610 590 900 820 880

x₁: 18 14 6 1 9 6 12

x₂: 60 180 80 120 100 170 110

Варіант 2

y: 1090 750 780 950 800 500 850

x₁: 40 7 6 15 20 3 9

x₂: 170 70 95 120 90 60 90

Варіант 3

y: 1020 800 1130 740 180 800 960

x₁: 17 12 16 6 12 15 18

x₂: 105 90 115 90 70 80 100

Варіант 4

y: 960 900 1130 590 890 830 880

x₁: 18 7 16 1 7 15 12

x₂: 60 160 110 120 140 80 110

Варіант 5

y: 1260 1200 800 720 1060 920 990

x₁: 14 14 1 1 3 10 2

x₂: 180 180 90 80 130 110 120

Варіант 6

y: 1290 750 780 950 800 500 850

x₁: 43 6 5 17 20 3 9

x₂: 170 70 95 120 90 60 90

Варіант 7

y: 960 760 980 800 860 610 590

x₁: 18 3 12 15 7 6 1

x₂: 60 220 160 80 160 80 120

Варіант 8

y: 860 590 800 920 900 700 880

x₁: 18 1 12 14 15 6 15

x₂: 60 120 80 170 120 90 80

Варіант 9

y 1160 800 720 810 790 990 700

x₁: 14 2 1 3 7 13 1

x₂: 180 90 80 110 100 170 110

Варіант 10

y: 800 700 710 1020 620 850 870

x₁: 3 2 5 14 3 5 12

x₂: 82 105 66 110 60 108 70

В цій задачі необхідно:

а) отримити чисельні значення коефіцієнтів b₀та b₁ лінійної регресійної моделі: y = b₀ + b₁x₁, тобто визначити залежність прибутку від розмірів капіталовкладень підприємства. При цьому дані про x₂ не беруться до уваги;

б) середню квадратичну похибку моделі;

в) коефіцієнт кореляції експериментальних даних з лінійною моделлю;

г) в довільному масштабі представити графік функції y(x₁) на фоні кореляційного поля отриманих експериментальних точок.

Зробити необхідні висновки, де пояснити фізичний зміст b₀ та b₁, а також роль і значення коефіцієнта кореляції R.

Задача 2. Розрахувати параметри нелінійної регресії, скориставшись таблицею приведення нелінійної форми функціональної залежності до лінійної.

Вихідні дані до задачі. Нумерація даних для функцій відповідає їх нумерації в таблиці, значення х для всіх прикладів однакове:

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 3,5; х₄ = 5;

2. у₁ = 0,1; у₂ = 0,05; у₃ = 0,027; у₄ = 0,02;

3. у₁ = 10,3; у₂ = 5; у₃ = 3; у₄ = 2,4;

4. у₁ = 0,17; у₂ = 0,18; у₃ = 0,19; у₄ = 0,192;

5. у₁ = 2; у₂ = 4; у₃ = 11; у₄ = 31;

6. у₁ = 17,4; у₂ = 53; у₃ = 1040; у₄ = 20300;

7. у₁ = 3; у₂ = 5; у₃ = 10; у₄ = 20;

8. у₁ = 2,1; у₂ = 4,2; у₃ = 7,7; у₄ = 9,3;

9. у₁ = 1; у₂ = 4; у₃ = 12; у₄ = 25;

10. у₁ = 1; у₂ = 1,6; у₃ = 2,1; у₄ = 2,4;

11. у₁ = 1; у₂ = 2,4; у₃ = 3,5; у₄ = 4,2;

12. у₁ = 3,3; у₂ = 2,5; у₃ = 1,8; у₄ = 1,4;

13. у₁ = 3,33; у₂ = 5; у₃ = 6,36; у₄ = 7,14;

14. у₁ = 74; у₂ = 27; у₃ = 17; у₄ = 15;

15. у₁ = 500; у₂ = 50; у₃ = 19; у₄ = 13;

16 у₁ = 2,1; у₂ = 2,28; у₃ = 2,65; у₄ = 3,12, n = 1,5 (показник степені х).

Побудувати графіки отриманих моделей.

Скористатися наступною таблицею для представлення нелінійної форми функцій у вигляді лінійної і подальшим переходом до попередніх параметрів регресії.

№	Функція у(х)	х′	у′	а	b

	y = a + bx	x	y	a′	b′
	y = 1/(a + bx)	x	1/y	a′	b′
	y = a + b/x	1/x	y	a′	b′
	y = x/(a + bx)	x	x/y	a′	B′
	y = ab^x	x	lg y	10^a^′	10^b^′
	y = ae^bx	x	ln y	e^a^′	b′
	y = a10^bx	x	lg y	10^a^′	b′
	y = 1/(a + be^-x)	e^-x	1/y	a′	b′
	y = ax^b	lg x	lg y	10^a^′	b′
	y = a + b lgx	lg x	y	a′	b′
	y = a + b lnx	ln x	y	a′	b′
	y = a/(b + x)	x	1/y	1/ b′	a′/ b′
	y = ax/(b + x)	x	x/y	1/ b′	a′/ b′
	y = ae^b/x	1/x	ln y	e^a^′	b′
	y = a10^b/x	1/x	lg y	10^a^′	b′
	y = a + bxⁿ	xⁿ	y	a′	b′

Варіанти завдань:

І. 3, 11; ІІ. 4, 9; ІІІ. 2, 10; ІV. 13, 15; V. 8, 12; VI. 5, 16; VII. 6, 12; VIII. 14, 4;
IX. 7, 11; X. 2, 15; XI. 3, 14; XII. 4, 16; XIII. 5, 13; XIV. 6, 9; XV. 7, 12;
XVI. 8, 2; XVII. 9, 10; XVIII. 10, 14; XIX. 11, 12; XX. 12, 16; XXI. 13, 16;
XXII. 14, 2; XXIII. 15, 9; XXIV 16, 6; XXV. 13, 6; XXVI. 4, 5.

Задача 2. Для експериментальних даних, приведених в першій задачі цього розділу, додатково прийняти до уваги дані про основні фонди підприємства та їх вплив на розвиток виробництва (x₂) і виконати наступне:

а) взяти лінійну регресійну модель y(x₁;x₂) у вигляді:

y = b₀+ b₁x₁ + b₂x₂,

і визначити числові значення b₀, b₁, b₂;

б) проаналізувати, чому коефіцієнт впливу x₁ на y (тобто b₁) в першій і в другій задачах відрізняються. Пояснити це явище.

в)оцінити отриману модель, розрахувавши дисперсії, коефіцієнти кореляції та детермінації: