Операция эквиваленции соответствует построению "тогда и только тогда" и обозначается символом "ó" или "≡". Эквиваленция определяется как сложное высказывание вида 
. Построим таблицу соответствия (табл.3.5) при помощи таблиц для импликаций 
и 
.
| Таблица 3.5 | ||||
| х 1 | х 2 | 
| 
| 
|
Исходя из таблицы соответствия, эквиваленцию (х 1ó x 2) можно также определить как высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания x 1 и х 2 либо оба истинны, либо оба ложны.
Так же как и импликация, операция эквиваленции очень часто применяется при формулировке различных теорем. В отличие от импликации, эквиваленция определяет необходимые и достаточные условия.
Вопросы и задания
3.14. Составьте сложное высказывание с использованием операции эквиваленции из следующих простых высказываний: "Сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны", "Треугольник прямоугольный". Проверьте результат по таблице соответствия.
3.15. С использованием операции эквиваленции сформулируйте сложное высказывание, описывающее срабатывание предохранителя в электрической цепи.
3.16. Приведите пример теоремы, при формулировке которой используется операция эквиваленции.
Принципы доказательства тождеств. Таблица операций с двумя логическими переменными
Возникает вопрос: как доказать, что выражение действительно является тождеством? Есть два пути:
1. Доказательство на основе таблицы соответствия. Для обеих частей предполагаемого тождество строятся таблицы соответствия. Если эти таблицы получаются одинаковыми (т.е. для каждого набора значений аргументов значения левой и правой части выражения совпадают), то тождество верно.
2. Доказательство путем последовательных тождественных преобразований. Последовательно преобразуя левую и правую части, необходимо привести их к одинаковому виду. Правила, по которым производятся тождественные преобразования будут рассмотрены в гл.5.
Всего существует 16 операций с двумя логическими (булевыми) переменными (табл.3.6).
Очевидно, что одни операции могут быть выражены через другие. Например, дизъюнкция может быть выражена через конъюнкцию и отрицание:
Существуют две операции (стрелка Пирса и штрих Шеффера), через любую из которых может быть выражена любая другая операция. Например:
Множество всех булевых функций вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции образуют булеву алгебру.
| Таблица 3.6 | |||||||
| x 1 | Варианты обозначения | Названия | Чтение | ||||
| x 2 | |||||||
| y 0 | Константа 0 (тождественный нуль, всегда ложно) | Любое 0 | |||||
| y 1 | 
| Конъюнкция (логическое "и", произведение, пересечение, совпадение) | x 1 и x 2 (и x 1 и x 2) | ||||
| y 2 | 
| Отрицание импликации (совпадение с запретом, антисовпадение, запрет) | x 1, но не x 2 | ||||
| y 3 | 
| Повторение (утверждение, доминация) первого аргумента | Как x 1 | ||||
| y 4 | 
| Отрицание обратной импликации (обратное антисовпадение) | Не x 1, но x 2 | ||||
| y 5 | 
| Повторение (утверждение, доминация) второго аргумента | Как x 2 | ||||
| y 6 | 
| Сумма по модулю 2 (неравнознач-ность, антиэквивалентность, исключающее "или") | x 1 не как x 2 (или x 1 или x 2) | ||||
| y 7 | 
| Дизъюнкция (разделение, логическая сумма, сборка, логическое "или") | x 1 или x 2 (x 1 или хотя бы x 2) | ||||
| y 8 | 
| Стрелка Пирса (функция Вебба, отрицание дизъюнкции, логическое "не–или") | Ни x 1, ни x 2 | ||||
| y 9 | 
| Эквиваленция (равнозначность, эквивалентность, взаимозависимость) | x 1 как x 2 (x 1, если и только если x 2) | ||||
| y 10 | 
| Отрицание (инверсия) второго аргумента (дополнение к первой переменной) | Не x 2 | ||||
| y 11 | 
| Обратная импликация (обратное разделение с запретом, обратная селекция) | Если x 2, то x 1 (x 1 или не x 2) | ||||
| y 12 | 
| Отрицание (инверсия) первого аргумента (дополнение ко второй переменной) | Не x 1 | ||||
| y 13 | 
| Импликация (разделение с запретом, следование, селекция) | Если x 1, то x 2 (не x 2 или x 1) | ||||
| y 14 | 
| Штрих Шеффера (отрицание конъюнкции, несовместность, логическое "не–и") | Не x 2 или не x 1 | ||||
| y 15 | Константа 1 (тождественная единица, всегда истинно) | Любое 1 |
Вопросы и задания
3.17. При помощи таблиц соответствия проверьте, какие из следующих выражений являются верными тождествами:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
