Линейные операции над матрицами

Линейная алгебра (1 часть)

Методические указания для практических работ студентов

специальностей «Экономика предприятий и организаций, Финансы и кредит, Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Налоги и налогообложения»

Ростов-на-Дону

УДК 51(075.8)

 

Линейная алгебра (1 часть): методические указания для практических работ студентов специальностей «Экономика предприятий и организаций, Финансы и кредит, Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Налоги и налогообложения»– Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 32 с.

 

Изложен краткий курс по линейной алгебре. Представлены типовые задачи и их решения. Приведены варианты заданий для самостоятельной работы. Предназначены для практических работ студентов как очной, так и заочной форм обучения специальностей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложения», «Региональная экономика». Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224.

 

 

УДК 51(075.8)

 

Составители:

к.ф.-м.н. Богачева М.Н.

к.ф.-м.н. Гробер О.В.

к.ф.-м.н. Гробер Т.А.

 

 

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2011 г., поз.

Подписано в печать Формат . Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.

Ó Ростовский государственный
строительный университет, 2011

Часть 1. Линейная алгебра

 

 

Матрицы и определители

Основные понятия

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов

.

Каждый элемент матрицы имеет два индекса: – номер строки и – номер столбца. Например, в матрице

размера , , , .

Часто используется краткая запись матрицы: . Матрица называется квадратной -го порядка, если она состоит из строк и столбцов. Матрица размера называется матрицей-строкой, а матрица размера матрицей-столбцом.

Нулевой матрицей О заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.

Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:

.

Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.

Транспонированной для матрицы называется матрица , строки которой являются столбцами матрицы , а столбцы – строками . Например, если

, то .

Матрицы и называются равными, если , , .

Линейные операции над матрицами

 

Суммой матриц и называется матрица .

Другими словами, для сложения матриц надо сложить элементы матриц, стоящие на одних и тех же местах. Складываются матрицы только одинакового размера.

Произведением матрицы на число называется матрица .

Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и выполняются свойства:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6) .

Пример 1. Даны матрицы и . Найти матрицу .

Решение.

n

Умножение матриц

 

Матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Расшифруем, что имеется в виду.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица размера с элементами , , .

Другими словами, для получения элемента, стоящего в -той строке и -том столбце матрицы-произведения, следует вычислить сумму произведений элементов -той строки матрицы на -тый столбец матрицы .

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.

Пример 2. Найти произведение матриц и .

Решение. .n

Заметим, что вполне возможна ситуация, когда существует, а нет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря, . Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Если и - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:

 

1) ;	3) ;
2) ;	4) .

 

 

Определители

 

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Рассмотрим квадратную матрицу 2 ^го порядка: .

Определителем 2 ^го порядка матрицы называется число:

 

.

 

Пример 3. Вычислить определитель матрицы .

Решение. n

 

Пусть – матрица 3 ^го порядка.

Минором элемента называется определитель , составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы -той строки и -того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется число

 

.

 

Определителем 3 ^го порядка (матрицы ) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения.

 

.

Пример 3. Вычислить определитель матрицы .

Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

;

;

.

Вычисляем исходный определитель

 

 

В дальнейшем при вычислении определителей мы будем пользоваться более короткой записью:

n

Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.

 

Определителем -го порядка называется сумма произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения.

 

Свойства определителей

 

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен 0.

3. Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель меняет знак.

4. Если элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.

6. Справедливо равенство

.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю.

9. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.

 

Теорема 1. Если и – квадратные матрицы -го порядка, то

.

Следствие. .

 

Пример 5. (Образец решения задачи 2 из контрольной работы). Даны матрицы и . Проверить справедливость равенства .

Решение.

 

Таким образом,

 

=–1650. n

 

Обратные матрицы

 

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если

 

.

 

Матрица называется вырожденной, если ; в противном случае

– невырожденная матрица.

 

Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. .

 

В таком случае,

,

т.е. обратная матрица есть разделенная на транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы .

 

Пример 6. Дана матрица . Найти .

Решение.

 

и тогда, .

Проверка.

.

Аналогично убеждаемся, что . Значит, матрица найдена верно. n

Справедлива следующая теорема:

 

Теорема 2. Если и невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка, то

.