КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
а 1 – количество гласных букв в имени студента;
а 2 – количество согласных букв в имени студента;
а 3 – сумма букв в фамилии студента.
Задача 1. Найти вероятность для (30+ а 1)-летнего страхователя:
1. дожить, по крайней мере, до 60 лет;
2. умереть до достижения возраста 50 лет;
3. умереть в возрасте от 45 до 50 лет;
4. прожить ещё (а 2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности дробных возрастов с помощью гипотезы о линейности функции дожития;
5. прожить ещё (а 2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности дробных возрастов с помощью гипотезы о постоянстве силы смертности;
6. прожить ещё (а 2+1) месяцев, пользуясь интерполяцией таблиц смертности дробных возрастов с помощью гипотезы Балдуччи;
7. найти среднюю округленную (I) и полную (II) продолжительность оставшейся жизни;
8. найти вероятность того, что страхователь умрет в течение последующих 5 лет, исходя из закона смертности де Муавра с предельным возрастом 100 лет. Сравнить полученный результат с вероятностью, рассчитанной по таблице смертности (I) / функции дожития (II).
Для расчётов воспользоваться:
I. таблицей смертности России за (2011- а 3) год:
Если а 1 – четное, страхователь – мужчина,
а 1 – нечетное, страхователь – женщина.
II. функцией дожития вида:
, 
.
Задача 2. Найти и сравнить единовременную и ежегодную премии по договорам страхования для (30+ а 2)-летнего страхователя на сумму 10000·(а 1+1) у.е.:
1. на случай смерти на срок 5 лет (выплаты в конце года смерти);
2. на дожитие на срок 5 лет;
3. смешанного страхования на срок 5 лет (выплаты в конце года смерти).
Решить задачи с использованием:
I. коммутационных функций для эффективной годовой процентной ставки i = 4,5%, (для расчётов воспользоваться таблицей смертности России за любой год);
II. при интенсивности процентов δ = 10,5%.
Если а 1 – четное, страхователь – мужчина,
а 1 – нечетное, страхователь – женщина.
III. с использованием функции дожития вида:
, ,
при эффективной учетной ставке d = 10%.
Задача 3. Пусть портфель страховой компании состоит из пяти одинаковых договоров страхования: в случае смерти страхователя в течение года страховщик выплачивает его наследникам 250000 руб. и не платит ничего, если страхователь доживет до конца года. Используя формулу Бернулли, построить распределение суммарного иска. Вероятность смерти в течение года принять равной 0,1+0,01 а 1. Чему равна нетто-премия? Какова должна быть страховая премия, чтобы вероятность разорения не превосходила 10%?
Задача 4. Страховая компания заключила 5000+100 а 1 договоров 3-летнего страхования жизни и 10000+100 а 2 договоров 3-летнего смешанного страхования жизни. Возраст страхователей 25+ а 1 лет. Процентная ставка равна (5+0,5 а 2)%. Используя таблицы продолжительности жизни, подсчитать нетто-премии для указанных видов страхования. Каковы должны быть страховые премии, чтобы вероятность разорения не превосходила 5%? Чему равна относительная страховая надбавка?
Задача 5. Имущество ценой (а 1+1) млн. у.е. застраховано от пожара сроком на 1 год. Вероятность страхового случая оценена в (а 2+1) %. При пожаре величина ущерба распределена равномерно. Страховщик предложил 5 возможных вариантов договора:
1. полная защита;
2. пропорциональная защита с ответственностью страховщика (40+5 а 2) % от ущерба;
3. страхование по правилу первого риска со страховой суммой (50+3 а 1) % от цены объекта;
4. безусловная франшиза (10+ а 1) % от цены объекта;
5. условная франшиза (20+ а 2) % от цены объекта.
Страхователь выбрал договор № а 2 (или (а 2–5), если а 2>5).
Проанализировать выбранный договор: найти характеристики размера ущерба страховщика (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ
1. Время жизни как случайная величина.
2. Свойства функции выживания.
3. Кривая смертей, интенсивность смертности. Свойства.
4. Аналитические законы смертности (Мэйкхама, Вейбулла, Гомперца).
5. Макрохарактеристики продолжительности жизни.
6. Остаточное время жизни. Распределение остаточного времени жизни.
7. Основные величины, связанные с остаточным временем жизни.
8. Округленное время жизни. Распределения округленного времени жизни.
9. Приближения для дробных возрастов (равномерное, постоянная интенсивность смертности, Балдуччи).
10. Макрохарактеристики остаточного времени жизни.
11. Частичная остаточная продолжительности жизни.
12. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни.
13. Приближенный расчет вероятности разорения.
14. Принципы назначения страховых премий.
15. Общая модель долгосрочного страхования жизни.
16. Теорема о дисперсии приведенной ценности.
17. Связь между непрерывными и дискретными видами страхования.
18. Перестрахование: сущность и разновидности договоров перестрахования.
19. Пропорциональное перестрахование. Перестрахование превышения потерь.
20. Пожизненные ренты, выплачиваемые раз в год.
21. Пожизненные ренты, выплачиваемые с частотой 
.
22. Периодические нетто-премии.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. – Издание 2-е, перераб. и доп. – М.: Анкил, 2007. – 262 с.
2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 192 с.
3. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М.: Российский юридический издательский дом, 1994.
Дополнительная
4. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. Перев. с англ. / Под ред. В.К.Малиновского. – М.: Янус-К, 2001. – 656 с.
5. Гербер Х. Математика страхования жизни: Пер. с англ. – М.: Мир, 1995. – 156 с.
6. Мак Т. Математика рискового страхования / Пер. с нем. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2005. – 432 с.
7. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.
8. Рябикин В.И., Тихомиров С.Н., Баскаков В.Н. Страхование и актуарные расчеты. – М.: Экономистъ, 2006. – 459 с.
9. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем) – М.: Анкил, 2001. – 176 с.
