Касательная к коническому сечению.

Семестровая работа по аналитической геометрии

Тема: Фокальные свойства конических сечений. Касательная к коническому сечению. Диаметры конических сечений.

Выполнили студентки 1курса

Группы 15П/1

Бахмат Галина и Глушко Виктория.

Литература:
Учебник Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Аналитическая геометрия»:

Глава 6. Линии второго порядка.

§1,4 стр. 155,180.
Задачник О. Н. Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии» Глава 5, Пункты: 2,3, 4. Стр. 84, Задачи № 365-372, стр. 86 задачи № 375-387.
Теоретический материал.

Фокальные свойства конических сечений.

Пункт 1.

Парабола.

Утверждение: Пусть А-точка на параболе с фокусом F и директрисой d. AD перпендикуляр, опущенный на директрису, тогда касательной к параболе, проходящей через точку А, будет прямая, содержащая директрису угла FAD

1. А-точка на параболе.

FA=FD и треугольник FAD равнобедренный.

2. Проводим а, как биссектрису угла A треугольника AFD. Эта прямая также оказывается серединным перпендикуляром к FD.

3. Выбираем на прямой а точку А' поскольку а серединный перпендикуляр к FD', то выполнимо равенство: A'F=A'D.

4. Выясним, сможет ли A' принадлежать параболе: сравним расстояние A'F и A'D'.

A'F=A'D>A'D' эти расстояния не равны, значит не одна точка на прямой а (кроме А) не принадлежит параболе и прямая а - является касательной к параболе.

Замечание: заметим, что в равнобедренном треугольнике FAD углы FAK=DAK. Углы DAK и а(альфа) = как вертикальные, значит угол FAK= углу а. Из этого факта следует свойство:

Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи,отразившись от поверхности параболы, пойдут в одном в одном направлении перпендикулярно директрисе.Это следует из того,что угол падения луча(FAD)= углу отражения.

Пункт 2.

Утверждение: пусть А - произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2,тогда касательная к эллипсу,проходящая через точку А, будет прямая, содержащая биссектрису угла смежного с углом F1AF2.AF1+AF2=2C; F':AF'=AF; a - биссектриса угла F2AF'.

1. Треугольник F2AF1 равнобедренный, тогда а- середина перпендикуляра F2F'.

2.A' принадлежит а, так как а- серединный перпендикуляр, выполнимо равенство: A'F2=A'F'.

3. Выясним, может ли A' принадлежать эллипсу. A'F1+A'F2=A'F1+ A'F'>F1F'=2C, значит A' не принадлежит эллипсу, поскольку прямая а не имеет общих точек с эллипсом кроме т. А, она является касательной.

Замечание: угол1=углу2 т.к. а- биссектриса, угол2=углу3, как вертикальные, значит угол1=углу3. Из этого факта следует свойство: если источник света поместить в один из фокусов эллипса, то лучи, отразившись от поверхности эллипса, соберутся в другом его фокусе (угол3- угол падения, угол1- угол отражения)

Пункт3. Гипербола

Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразившиеся от гиперболы, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Касательная к коническому сечению.

Определение: касательная к кривой в точке А называется предельно положение секущей АВ, когда точка В неограниченно приближается к точке А.

Запишем уравнение секущей, используя форму уравнения прямой, проходящей через точку А (х_о;у_о) с заданным угловым коэффициентом (k секущая= у/x)

АВ: у-у_о= у/x (x-x_o); если х 0, то у/x f^,(х).

Тогда уравнение касательной имеет вид y-y_o=f^,(x_o)(x-x_o₎

Если х=F(y) x-x_o₌F^,(y_o)(y-y_o₎

Пункт 1.Парабола.

У²⁼2px

X=y²/2px

_Xy’₌y

X’(y₀)=y₀/p тогда уравнение касательно имеет вид

x-x₀=y₀/p(y-y₀)

px-px₀=y₀y-y₀²(1)

y₀²=2px:

px+px₀=y₀y

y₀y=p(x+x₀) уравнение касательной к параболе

Пункт 2.Эллипс.

x²/a²=y²/b²=1

составим уравнение касательной к эллипсу в точке (x-x_o)

при условии, что y₀не равно 0

Выразим из уравнения y:

Y=bÖ1-x²/a²

Y’=b1/Ö1-x²/a²* (-2x/a²)

Y’(x₀)= -bx₀/a²Ö1-x²/a²= bx²₀/a²bÖ1-x²/a²*(-2x/a²)

Y - y₀=-b²x₀/ a²y₀(x-x₀)

xx₀/a²+ yy₀/b²=1

Вывод: таким образом, уравнение касательной получено для любой точки, принадлежащей эллипсу, т.к. если точка принадлежит эллипсу, то её координаты (x₀,y₀) – одновременно в ноль не обращаются.

Замечание: уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет вид:

xx₀/a²- yy₀/b²=1.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax ² + by ² + c = 0

или

px ² + qy = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B ² № AC, второе – при B ² = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a = b – окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x, y, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z ² = x ² + y ². Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса с прямым углом при вершине V. Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC, где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB. Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P. Получившаяся кривая будет параболой.

Построение можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

y ² = RQ X QS.

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS / EB = QF / FE). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y ² = RQ Ч QS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = – a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = – b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x ² = a ², определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y ² = – b ², определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k.