1. Указать порядки всех элементов циклической группы порядка 
.
1.5. 
2. В диэдральной группе
порядка 8 перечислите все элементы группы и найдите их порядки. Вычислите следующие произведения и найдите их порядки.
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. 
;
2.5. 
.
3. В полудиэдральной группе
порядка 16 перечислите все элементы группы и найдите их порядки. Вычислите следующие произведения и найдите их порядки.
3.1. 
3.2. 
;
3.3. 
3.4. 
;
3.5. 
.
4. В модулярной группе
порядка 27 перечислите все элементы группы и найдите их порядки. Вычислите следующие произведения и найдите их порядки.
4.1. 
4.2. 
;
4.3. 
4.4. 
;
4.5. 
.
5. В группе кватернионов
порядка 16 перечислите все элементы группы и найдите их порядки. Вычислите следующие произведения и найдите их порядки.
5.1. 
5.2. 
;
5.3. 
5.4. 
;
5.5. 
.
6. Указать разложение циклической группы порядка n в прямое произведение циклических примарных подгрупп.
6.3. 
;
6.5. 
7. Сколько подгрупп порядка 
в нециклической абелевой группе порядка ?
7.5. 
8. Указать разложение 
в полупрямое произведение подгрупп порядков2 и 3.
9. Проверить, что множество
является нормальной подгруппой группы 
10. Проверить, что 
, где 
, а
11. Проверить, что 
, где 
- циклическая группа порядка 4, а 
.
12. Доказать, что диэдральная группа порядка 16 не является произведением двух подгрупп порядка 4.
13. Доказать, что полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух подгрупп порядка 4.
14. Доказать, что
15. Пусть 
и 
- простые числа 
. Доказать, что группа порядка 
разложима в полупрямое произведение нормальной подгруппы порядка и подгруппы порядка . Если 
не делит 
, то такое произведение будет прямым.
16. Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных действительных чисел и группы всех комплексных чисел, по модулю равных 1.
17. Доказать, что при 
мультипликативная группа кольца вычетов 
является прямым произведением подгруппы 
и циклической группы порядка 
.
18. Доказать, что если - наименьшее общее кратное порядков всех элементов конечной абелевой группы, то в группе существует элемент порядка .
19. Найти все классы сопряженных элементов группы 
, если известны классы сопряженных элементов групп 
20. Доказать, что если факторгруппа 
абелевой группы 
- бесконечная циклическая группа, то подгруппа 
выделяется в 
прямым множителем, то есть существует подгруппа C такая, что 
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ
ДВУМЯ ЭЛЕМЕНТАМИ
Если группа 
содержит элементы 
и 
, то, очевидно, она содержит и циклические подгруппы 
и 
. Что касается других подгрупп, содержащих элементы 
, то их принадлежность группе зависит от соотношений между элементами . Наименьшая из подгрупп, содержащих , называется подгруппой порождённой элементами и обозначается как 
. Простейшее соотношение между a и b есть равенство 
. Например, если - перестановки, являющиеся независимыми циклами, то перестановочны в группе.
Другим соотношением между может быть равенство 
.
1. Пусть - элементы конечной группы и .
1.1. Докажите, что 
для всех 
.
1.2. Пусть, кроме того, элемент имеет порядок 2. Заполните таблицу умножения.
1.3. Докажите, что множество 
образует подгруппу 
2. Пусть - элементы конечной группы и .
2.1. Докажите что 
.
2.2. Пусть, кроме того, элемент имеет порядок 3. Заполните таблицу умножения
2.3. Докажите, что множество 
образует подгруппу 
.
3. Пусть - элементы группы и .
3.1. Докажите что 
для любых натуральных 
.
3.2. Докажите, что множество 
образует подгруппу .
4. Пусть - элементы группы и 
. Докажите что .
5. Пусть - элементы группы и . Докажите что 
для всех целых .
6. Если 
то каков порядок перестановки 
?
7. Если 
то каков порядок перестановки ?
8. Если 
то каков порядок перестановки ?
9. Если перестановки являются циклами длины 
соответственно, и наибольший общий делитель для есть , то каков порядок перестановки ?
10. Приведите пример, показывающий, что если - элементы группы, имеет порядок 6, имеет порядок 10, то произведение 
может иметь порядок, отличный от 30. Даже когда .
11. Пусть 
11.1. Проверьте, что 
11.2. Проверьте, что 
11.3. Вычислите перестановки 
.
11.4. Проверьте, что 
12. Пусть 
12.1. Проверьте, что 
.
12.2. Проверьте, что .
12.3. Вычислите перестановки 
12.4. Проверьте, что - группа симметрий квадрата.
13. Пусть 
13.1. Проверьте, что 
.
13.2. Проверьте, что .
13.3. Вычислите перестановки 
.
13.4. Проверьте, что для правильного пятиугольника с вершинами 1, 2, 3, 4 и 5 число симметрий описывается данными перестановками.
14. Пусть - элементы группы, имеет порядок 2 и .
14.1. Рассмотрите произведение 
c двух точек зрения: с точки зрения, что 
, и с другой точки зрения, что 
14.2. Расширьте этот метод для доказательства того, что 
для всех целых n.
14.3. Заполните соответствующую таблицу умножения
14.4. Докажите, что множество 
образует подгруппу .
15. Пусть группа G порождается элементом a порядка n и элементом b
порядка 2, которые связаны соотношением .
15.1. Докажите, что состоит из 
элементов.
15.2. Докажите, что каждый элемент вида 
имеет порядок 2.
16. Представьте каждый элемент из как произведение транспозиций.
Докажите, что 
.
17. Докажите, что множество всех транспозиций из 
порождает группу .
18. Вычислите произведение 
и установите, что множество транспозиций 
порождает группу .
19. Вычислите произведения 
20. Докажите, что каждая чётная перестановка может быть записана в виде произведения циклов длины 3.
21. Докажите, что все циклы длины 3 порождают 
.
