Математическая модель процесса обучения

В основе структурной организации интегрированных обучающих систем лежит математическая модель процесса обучения. На понятийном уровне ее можно сформировать следующим образом:

1) на основании текущего состояния обучаемого и методики обучения генерируется очередная задача, требующая ответных действий обучаемого;

2) ответ обучаемого сравнивается с эталонным решением и на основании различий диагностируются ошибки обучаемого;

3) по результатам диагностики корректируются текущие характеристики обучаемого.

В соответствии с математической моделью адаптивного обучения информационную систему можно рассматривать как совокупность трёх взаимосвязанных подсистем:

1) по решению задач в изучаемой предметной области;

2) по диагностике ошибок обучаемого;

3) по планированию процесса управления обучением.

С, U – каналы управления обучением.

Q – относительный вес обучающей информации.

Y – канал обратной связи в виде результатов контроля.

A – алгоритм управления.

J – обучающая информация.

Z – цель обучения.

P – состояние обучаемого.

Fp, Fy – операторы состояния и результатов контроля обучаемого.

Структурная схема ИОС представлена на рисунке:

Пусть предметом обучения является n+1 заданных порций обучающей информации J = (J₁….J_n₊₁). При этом известны относительные веса (или значимость) для каждой порции Q = (q₁…q_n₊₁). Причем .

В качестве можно, например, применять априорную (доопытную) меру частоты использования значения в практической деятельности человека.

Весь процесс обучения, согласно этой модели, можно представить в виде двух повторяющихся этапов:

1) Передача обучающемуся порции информации

где = 1, если на шаге N выдано Ji. В противном случае равно нулю.

2) контроль знаний.

Результаты контроля представляются в виде вектора канала обратной связи:

при этом , если обучаемый знает порцию Ji информации на N шаге.

Модель обучаемого удается отразить в виде:

Цель обучения можно задать следующим выражением:

, (1)

где - уровень (вероятность) незнания порции информации;

- некоторый наперёд заданный уровень незнания;

С прикладной точки зрения выражение (1) не очень удобно, поэтому используют другой критерий обучения. Так в качестве интегрального критерия оценки эффективности знаний обучаемого используют:

, (2)

где - уровень (вероятность) незнания порции информации на N шаге;

- частота использования знаний;

E – некоторый порог (уровень, характеризующий минимальные знания).

(2) – это интегральный критерий, который является более обобщенным. На практике полезно использовать как (1), так и (2).

(1) (2)

Алгоритм обучения должен обеспечивать минимизацию шагов обучения, необходимых для достижения целей Z.

Т.е. необходимо решить следующую задачу оптимизации:

при условии выполнения ограничения (1).

При этом необходимо найти – оптимальное значение управления обучением. При этом аналитического решения (вычисляя частные производные и приравнивая их к 0) найти невозможно. Решение данной оптимизационной задачи может быть найдено с помощью известных методов нелинейного программирования (оптимизация в Excel – метод сопряженных градиентов и Ньютона).

В процессе обучения модель обучаемого изменяется, поэтому необходима адаптация процесса обучения. При этом процесс адаптации осуществляется рекуррентным способом (когда состояние на n+1 шаге обучения зависит от состояния n (на предыдущем) шаге).

где (набла) - вектор градиента (направление движения и шаг), показывающий направление max -го возрастания функции;

;

J – алгоритм адаптации обучающей информации, зависит от контроля и предыдущего состояния обучающегося .

Если считать обучающегося полностью необученным, то процесс обучения удлинится и в данном случае состоит в том, что на данном шаге ИС строится согласно алгоритму: для каждого конкретного обучаемого – своё информационное поле, по которому определяются промежутки между сеансами обучения и коррекция вектора вероятностей познания. В дальнейшем осуществляется контроль по критериям качества обучения, и когда этот критерий достигает заданного уровня (E), процесс обучения считается выполненным с точки зрения заданного уровня. Обучаемый получает протокол с информацией о результатах тестирования.