Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

1. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 50% - из первого, 30% - из второго и 20% - из третьего. При этом материал первого цеха имеет 8% брака, второго – 6%, третьего – 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка не имеет дефектов.

2. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к число легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3. В ящике содержатся 12 деталей, изготовленных на первом заводе, 20 деталей - на втором заводе и 11 деталей - на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и третьем заводах, эта вероятность соответственно равна 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

5. Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым - 0,91. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

6. Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,35, ко второму - 0,4, к третьему - 0,25. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, вторым - 0,85, третьим - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

7. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Производится расчет на машине, выбранной наугад. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

8. При разрушении шестерни образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 из общего числа, средних и мелких - соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. Крупный осколок пробивает экран с вероятностью 0,9, средний - 0,3, мелкий - 0,1. Какова вероятность того, что попавший осколок пробьет экран?

9. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки - 0,4. Вычислить надежность (вероятность безотказной работы) прибора за время полета.

10. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

11. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах соответственно 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность, того, что возникший в машине сбой обнаружен.

12. На сборку поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 - со второго. Первый автомат дает 0,2% брака, а второй - 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

13. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 - только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

14. Среди 350 механизмов 160 - первого, 110 - второго, 80 -третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, второго сорта - 0,02, третьего сорта - 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный.

15. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

16. Специалист высокой квалификации собирает 30% приборов, средней квалификации -70%. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификация, 0,9, средней квалификации - 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

17. В ящике содержатся 12 деталей, изготовленных на первом заводе, 20 деталей - на втором заводе и 11 деталей - на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и третьем заводах, эта вероятность соответственно равна 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

18. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наугад взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

19. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования: на первом станке -10%, на втором - 30%, на третьем - 60% всех деталей. Вероятность того, что каждая деталь бездефектна, равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8 - если на втором; 0,9, если на третьем. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

20. Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым - 0,91. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

21. Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого охотника равна 0.2, у второго – 0.6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

22. Завод выпускает за три месяца 20, 30, 50% задания, причём вероятность брака соответственно составляет 0.01, 0.012, 0.015. Найти вероятность того, что изделие выпущено в первом месяце, если в нём обнаружен дефект.

23. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.Вероятность выполнить квалификационную нормутакова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

24. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а заводом №2 – 0,9. Сборщик наудачу извлёк деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

25. В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

26. В каждой из урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что извлеченный из второй урны шар окажется белым.

27. Три станка производят соответственно 50%, 30% и 20% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 1%, 2% и 1,5%. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие удовлетворяет стандарту?

28. В пирамиде установлены 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом, или без него?

29. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% с заболеванием L, 20% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К, равна 0,7; для болезней L и М вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

30. Турист, заблудившийся в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода из леса туриста составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он вышел из леса?

ЗАДАЧА №4.