В этой лекции мы будем рассматривать уравнение Лапласа 
в ограниченных областях D, расположенных на плоскости или в пространстве. Точки Р(х, у) и Рo (хo, уo) на плоскости (или Р(х, у, z) и Рo (хo, уo, zo) в пространстве) принадлежат области D и
(или
) - расстояние между точками Рo и Р.
Предположим, что на границе области D задано нулевое условие Дирихле.
Функция G(P,Po) называется функцией Грина задачи Дирихле в области D, если для любой фиксированной точки 
она, как функция от Р, удовлетворяет следующим условиям:
(i) непрерывная в 
всюду, кроме точки Po, и G(P,Po) = 0 на границе D;
(ii) гармоническая в D за исключением точки Po;
(iii) в случае плоскости 
остается гармонической функцией в точке Po; в случае пространства функция 
остается гармонической в точке Po.
Как следует из определения, функция Грина непрерывна и гармонична всюду в области D за исключением точки Po, в которой она имеет особенность типа 
в плоскости или 
в пространстве. Функцию Грина иногда называют функцией источника.
Функция Грина G(P,Po) (если она существует) однозначно определяется свойствами (i)-(iii). Кроме того, G(P,Po)>0 в области D. Рассмотрим, к примеру, плоскую область D. Для того, чтобы доказать единственность функции Грина, предположим противное: пусть G1, и G2 - две функции, обладающие свойствами (i)-(iii) для заданных области D и точки . Тогда (G1 — G2) остается гармонической в любой точке области D, включая и точку Po, поскольку вблизи точки Po можно записать
(41)
Каждая скобка в правой части (41) представляет собой функцию, гармоническую всюду в D (см. свойство (iii)), поэтому и разность (G1 — G2) - функция гармоническая всюду в D. Кроме того, на границе D функция 
Следовательно, по принципу максимума 
в области D.
Далее, если D1 - часть области D, находящаяся вне малой окрестности точки Po, то, согласно условиям (i)-(iii), функция G непрерывна в 
гармонична в D1, и на границе D1 принимает неотрицательные значения (так как 
при 
). Поэтому по принципу максимума 
в D1 причем нулевое значение внутри области D1 функция принимать не может. Это означает, что 
всюду в D.
Пример 1. На плоскости рассмотрим круг радиуса R с центром в начале координат. Построим функцию Грина в круге. При построении этой функции нам понадобится понятие сопряженных точек. Точки Po и Р* называются сопряженными относительно окружности, если они лежат на одном луче, исходящем из центра O окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса: 
(см. рис.16).
Рис. 16
Обозначим через ro =|OPo| и r* =|OP*|. Тогда ro r*=R2. Так как точки Po и Р лежат на одном луче, выходящем из начала координат, то
Возьмем функцию
(42)
где r =|PoP|, r1 =|PP*| (см. рис.17). Проверим, что она является функцией Грина для круга.
По теореме косинусов 
и 
, где ρ=|OP|.
Рис. 17
Воспользовавшись равенством ro r*=R2, получим 
Таким образом, величины r и r1 выражаются через R, ρ, ro, φ, φo, и, в конечном счете, через R, x, y, xo, yo. Покажем, что функция G(P,Po) удовлетворяет пунктам (i)-(iii) определения. Очевидно, что функция непрерывна всюду в замкнутом круге кроме точки Ро (когда r = 0). На границе круга расстояние ρ=R и, следовательно,
Отсюда 
Функция G(P,Po) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое-фундаментальное решение уравнения Лапласа и,следовательно, гармоническая функция всюду, кроме точки Po. Функция 
является гармонической всюду в области D, так как точка Р принадлежит области, а точка Р* лежит вне области D и, следовательно, r1 >0. Гармоничность этой функции легко проверяется, если записать оператор Лапласа в полярной системе координат с полюсом в точке Р* (см.аналогичную формулу (33*) с полюсом в точке О):
Поэтому функция G(P,Po) гармоническая в области D всюду, кроме точки Ро, а разность G(P,Po) - ln(1/r) — гармоническая и в точке Ро.
Аналогично строится функция Грина для шара радиуса R. Она имеет вид 
где r=|PoP|, r1=|PP*|, ro=|OPo|. Точка P*(x*, y*, z*) сопряженная точке Рo (хo, уo, zo) относительно сферы радиуса R с центром в точке О, то есть . Координаты x*, y*, z* вычисляются по формулам:
Пример 2. Функцию Грина можно рассматривать не только для ограниченных, но и для неограниченных областей. В качестве примера построим функцию Грина для полуплоскости. Для этого определим точки, сопряженные относительно прямой: точки Ро и Р* называются сопряженными относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой (см. рис.18).
Рис. 18 Рис. 19
Функция 
где
, 
(см. рис.19), удовлетворяет свойствам (i)-(iii) в полуплоскости у > 0. В самом деле, на границе области при у = 0 расстояние r = r1, поэтому 
Гармоничность функции 
всюду в области у > 0 проверяется непосредственно вычислением частных производных:
Поэтому
Следовательно, функция G(P,Po) гармоническая в области у > 0 всюду, кроме точки Ро, а разность G(P,Po) - ln(1/r) гармоническая и в точке Ро.
Для полупространства z > 0 функция Грина имеет вид
где 
