Раздел 3. Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений

Содержание учебного курса.

Раздел 1. Методы теории подобия и размерности.

Тема 1.1. Анализ размерностей и подобие.

1.1. Размерность. Анализ размерностей. Подобие. П-теорема.

Тема 1.2. Применение анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики и механики. Автомодельные решения.

Сильные тепловые волны. Сильные взрывные волны. Автомодельность. Промежуточная асимптотика.

Тема 1.3. Автомодельные решения второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Автомодельное решение второго рода.

Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Модифицированная задача о сильном взрыве. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о точечном сильном взрыве. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Качественное исследование нелинейной задачи на собственные значения. Задача о коротком ударе. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение.

Тема 1.4. Классификация автомодельных зависимостей и автомодельных решений.

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода.

Тема 1.5. Автомодельные решения и бегущие волны. Полная и неполная автомодельность упругости и разрушения.

Решения типа бегущих волн. Ударная волна Бюргерса – стационарная бегущая волна первого рода. Задача о равновесии упругого клина под действием пары сил, приложенной в его вершине. Парадокс Стернберга-Койтера. Промежуточная асимптотика решения неавтомодельной задачи. Законы подобия хрупкого и квазихрупкого разрушения.

Тема 1.6. Решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Метод подобия. Общий вид решений типа бегущей волны. Инвариантность уравнений относительно преобразований сдвига. Функциональное уравнение, задающее решение типа бегущей волны. Метод подобия. Примеры автомодельных решений уравнений математической физики и механики. Уравнения, инвариантные относительно комбинаций преобразований сдвига и растяжения, и их решения. Экспонециально-автомодельные решения. Инвариантные решения. Обобщенно-автомодельные решения.

Раздел 2. Симметрия в математике. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 2.1. Введение. Симметрия в современной математике. Группы преобразований. Преобразования и их свойства. Группы преобразований и их инварианты.

Тема 2.2. Группы преобразований. Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли.

Раздел 3. Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений.

Тема 3.1. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора. Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления производных. Координаты первого и второго продолжений.

Тема 3.2. Симметрии нелинейных уравнений второго порядка. Условие инвариантности. Процедура расщепления по производным. Примеры поиска симметрий нелинейных уравнений математической физики. Двумерное стационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником. Нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности. Нелинейное волновое уравнение. Допустимые инфинитезимальные операторы и инварианты движения нелинейной вязко-пластической среды.

Тема 3.3. Использование симметрий уравнения для поиска точных решений. Использование симметрий уравнения для построения однопараметрических решений. Процедура построения инвариантных решений. Примеры построения инвариантных решений нелинейных уравнений. Решения, порождаемые линейными комбинациями допускаемых операторов.

Тема 3.4. Уравнения старших порядков. Однопараметрические группы Ли точечных преобразований. Генератор группы. Инвариант группы. Локальные преобразования производных. Условие инвариантности. Процедура расщепления. Инвариантные решения. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного безградиентного гидродинамического пограничного слоя. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного градиентного гидродинамического пограничного слоя.

Тема 3.5. Симметрии систем уравнений математической физики. Основные соотношения, используемые при анализе симметрий систем уравнений. Симметрии уравнений гидродинамического пограничного слоя. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений установившегося околозвукового течения газа. Допустимые операторы и инвариантные решения нелинейной системы уравнений одномерных длинноволновых колебаний упругого стержня. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений одномерного изэнтропического движения идеального газа. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений двумерного установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости.

Тема 3.6. Неклассический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений. Описание метода.Условие инвариантной поверхности. Алгоритм построения точных решений неклассическим методом для эволюционных уравнений второго порядка. Конкретные примеры: уравнение Фитсхью-Нагумо и нелинейное волновое уравнение.

Тема 3.7. Прямой метод Кларксона-Крускала. Поиск точных решений специального вида. Упрощенная схема. Примеры построения точных решений. Поиск точных решений общего вида. Примеры построения точных решений методом Кларксона-Крускала.