Точность измерения при экспериментальных исследованиях и наблюдениях

Для ряда равноточных измерений а1, а2.аn определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а1), (а - а2),., (а - аn).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки Dхi = (Х - аi), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку Dаi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного измерения) определяется выражением (Dх1+Dх2+.+Dхn)/n.

Величина [(Dх1)2+(Dх2)2+.+(Dхn)2]/n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или генеральной совокупности s2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S = является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок Dхi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки хi. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины хi являются независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n-1, т.к. в величину Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ± .

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину Dх = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

Sn2 =

=

= .

Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно получить средние значения а1, а2,., аN и погрешности результатов измерений

(Dх)1 = (Х - а1); (Dх)2 = (Х - а2);.; (Dх)N = (Х - аN)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

Sa2 = .

Выражения s2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.