Приведение задач к каноническому виду

Пусть имеем задачу общего вида, которую нужно привести к каноническому виду, т.е. из ограничений-неравенств сделать ограничения-равенства. Для этого в каждое ограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная со знаком «+», если знак неравенства «», и со знаком «–»,если знак неравенства «». В целевую функцию эти переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. значение целевой функции не изменяется.

Примечание: 1) В канонической форме равенства принято записывать так, чтобы правые части ограничений были неотрицательными. Если какое-либо отрицательное, то умножив i -е ограничение на (–1), получим в правой части положительное число. При этом знак неравенства нужно изменить на противоположный.

2) Если ограничение содержит знак «=», то дополнительную переменную вводить не нужно.

Пример. Записать задачу линейного программирования в каноническом виде.

max (min)

,

Решение. Второе ограничение системы содержит в правой части отрицательное число –2. Умножим второе ограничение на (–1), при этом знак неравенства изменится на противоположный . Задача примет вид:

max (min)

,

В первое и во второе ограничения добавим по дополнительной переменной и соответственно, а из третьего вычтем дополнительную переменную . Имеем следующий канонический вид задачи:

max (min)

,

Задания для самостоятельной работы.

Составить экономико-математические модели следующих задач:

1. Для изготовления двух видов продукции P₁ и Р₂ используют четыре вида ресурсов S₁, S₂, S₃ и S₄. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р₁ и Р₂, – соответственно 2 грн. и 3 грн.

2. На приобретение оборудования для нового производственного участка общей площадью 375 м² предприятие обладает необходимым количеством денежных средств. Предприятие может заказать оборудование двух видов: машины первого типа стоимостью 10000 грн., требующие производительную площадь 6 м² (с учетом проходов), производящие 4000 единиц продукции за смену, и машины второго типа стоимостью 20000 грн., занимающие 10 м² площади, производящие 5000 единиц продукции за смену. Общая производительность данного производственного участка должна быть не менее 221000 единиц продукции за смену. Построить модель задачи при условии, что оптимальным для предприятия вариантом приобретения оборудования считается тот, который обеспечивает наименьшие общие затраты.

3. Фермер планирует произвести не менее 120 тонн пшеницы, 70 тонн кукурузы и 15 тонн гречихи. Для этого можно использовать два массива сельскохозяйственных угодий в 1000 и 800га. В таблице приведены урожайность каждой культуры на различных участках (верхний показатель) и затраты на 1га сельскохозяйственных угодий при производстве различных культур (нижний показатель). Требуется составить такой план засева, чтобы валовой сбор зерна удовлетворял плановому заданию, а стоимость затрат была наименьшей.

4. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя для этого телевидение, радио и газеты. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой 8000 грн. в месяц. Опыт прошлых лет показал, что 1 грн., потраченная на телерекламу, дает фирме прибыль в размере 10 грн., а потраченная на рекламу по радио и в газетах – соответственно 4 и 8 грн.

Фирма намерена затратить на теле- и радиорекламу не более 70% рекламного бюджета, а затраты на газетную рекламу не должны больше чем вдвое превышать затраты на радиорекламу.

Определить такой вариант распределения рекламного бюджета по разным направлениям рекламы, который дает фирме наибольшую прибыль от рекламы своей продукции.

5. Продукция фабрики выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – 2 м. По специальным просьбам потребителей фабрика поставляет также рулоны других размеров, разрезая стандартные рулоны. Типичные заявки на рулоны нестандартных размеров приведены в таблице:

Определить оптимальный вариант раскроя стандартных рулонов, при котором все поступающие специальные заявки будут выполнены при минимальных затратах бумаги.