Постановка задачи исследования как задачи линейного

Программирования.

 

Среди задач исследования, сформулированных при исполнении заданий (пункт 1.4) отобрать те, которые можно записать как задачу линейного программирования.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача №1.

Постановка задачи.

Перед зданием вокзала можно оборудовать

- киоски (не более пяти, но не менее одного)

- места автостоянок (не меньше десяти, но не более пятидесяти).

- пункты питания (не меньше одного, но не более трех).

На этот проект, на оборудование и эксплуатацию в первый год отпущено 51 денежная единица. Известны расходы на содержание, прибыль и единичные затраты на установку одного объекта каждого вида. Разработать проект обеспечивающий максимальную прибыль.

 

Исходные данные задачи №1.

Таблица 1

Объекты	Расходы на содержание (д.е.)	Прибыль (д.е.)	Затраты на установку (д.е.)	Ограничения по кол-ву объектов
Киоски (Х1)	0,2	2,0		1 Х1 5
Автостоянки (Х2)	0,1	0,3	0,5	10 Х2 50
Пункты питания (Х3)	2,0	5,0		1 Х3 3

 

Математическое описание задачи.

Z = 2Х₁+0.3Х₂+5Х₃ max – целевая функция (максимум прибыли)

Ограничение по расходам на эксплуатацию:

0,2Х₂+0,1Х₃+2Х₃ 6

Ограничение по затратам на оборудование:

4Х₁+0,5Х₂+1,5Х₃ 45

Ограничения по количеству объектов:

 

Предельная сумма расходов на оборудование и эксплуатацию в первый год (51 д.е.) распределяется в математическом описании задачи на расходы по содержанию и ремонту (6 д.е.) и затраты на установку (45 д.е.). При исследовании проблемы эти доли могут изменяться.

 

Задача №2.

Постановка задачи.

Предприятие «Пассажиравтотранс» выполняет пассажирские перевозки (см. табл 2). Разработать план работы предприятия, обеспечивающий максимальную прибыль.

 

Исходные данные задачи №2

Таблица 2

№	Виды пассажирских перевозок	Затраты на 1 м.ч., руб	Доход на 1 м.ч., руб	Прибыль на 1 м.ч., руб	Накат м. часов
	Городские с льготами (X1)				900 X1 4000
	Городские без льгот (X2)				900 X2 3800
	Пригородные с льготами (X3)				900 X3 3700
	Пригородные без льгот (X4)				900 X4 3200
	Маршрутное такси городское (X5)				900 X5 2800
	Маршрутное такси пригородное (X6)				900 X6 2500
	Заказное (X7)				900 X7 2200
	Междугородние (X8)				900 X8 2200
	Международные (X9)				900 X9 2200

Математическое описание задачи.

Целевая функция (максимум прибыли):

Z =40X₁+100X₂+110X₃+140X₄+190X₅+290X₆+300X₇+320X₈+

+350X₉ max

Ограничения по затратам:

310X₁+310X₂+310X₃+310X₄+310X₅+310X₆+310X₇+310X₈+

+310X₉ 2 511 000

Ограничения по доходам:

35X₁+410X₂+400X₃+450X₄+500X₅+600X₆+610X₇+630X₈+

+660X₉ 2 511 000

Ограничения по накату:

900 X1 4000 900 X2 3800 900 X3 3700 900 X4 3200 900 X5 2800 900 X6 2500 900 X7 2200 900 X8 2200 900 X9 2200

Выработка альтернативных вариантов решения в

Диалоге с ЭВМ.

 

Задача, сформулированная в пункте 1.5, решается с помощью программы задачи линейного программирования.

Целью выработки альтернативных вариантов задачи является исследование пространства возможных управленческих решений.

Для выработки альтернативных вариантов можно менять:

– ограничения

– целевую функцию

 

– величину ограничений*

– значения коэффициентов уравнений.

Замена целевой функции означает смену цели проекта. Например, целью может быть:

– максимум прибыли,

– минимум расходов на содержание,

– минимум затрат на установку или минимум объема перевозок и пр.

Это позволит посмотреть на проект с разных точек зрения.

Замена величины ограничений означает изменение условий проекта, на которые ЛПР** согласен. Это может быть увеличение (уменьшение) затрат на установку, на содержание и ремонт, на накат и т.д.

Очевидно, что это повлечет дополнительные расходы (или уменьшит их) на реализацию проекта.

Замена значений коэффициентов уравнений означает обычно изменение технологий. Например, изменение в задаче №1 коэффициента при переменной Х₁ (в неравенстве ограничения по затратам на установку) означает, что предполагается устанавливать киоски более (или менее) дорогостоящие.

Рассмотрим альтернативные варианты решения задачи №2 (см. табл. 3).

 

 

 

Варианты плана пассажирских перевозок предприятия

“Пассажиравтотранс”.

Таблица 3

№	прибыль (тыс. руб)	затраты тыс. руб)	Рентабельность =	Оптимальное решение варианта
п/п	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
			0,6594
			0,766
			0,7646
			0,7058
			0,6231
			0,5804
			0,85066
			0,8184
			0,7097
			0,98606
			0,51374
			0,8704
			0,8862

Замечания:

В этих вариантах изменялись не только величина ограничений по затратам, но и ограничения по накату часов. А именно:

- В варианте 7 нижний предел для X1 и X2 равен 0.

- В варианте 8 X2=X4=0

- В варианте 9 X2=X4=0; X6=X7=X8=X9=900.

- В варианте 10 нижний предел для X1,X2,X3,X4 равен 0.

- в варианте 11 X5=X6=X7=X8=X9=900.

- в варианте 12 верхний предел для X5,X6,X7,X8,X9 равен 5000.

 

На 1 этапе исследования рассматривается состояние предприятия при условии изменения затрат (см. варианты 1,2,3,4,5,6. Таб.3, рис.2).

прибыль

 

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 затраты

Рис.2 Зависимость прибыли от затрат в проекте пассажирских перевозок.

 

Очевидно, что увеличение затрат влечет за собой прирост прибыли, но темпы прироста постоянно снижаются. Для оценки вариантов введен показатель рентабельности затрат. По этому показателю наилучшим является вариант 2. Установлено также, что наименее выгодным экономически являются городские и пригородные перевозки (как со льготами, так и без них), то есть общественный транспорт.

На 2 этапе исследования рассматривалось, как будет меняться состояние предприятия при одних и тех же максимальных затратах и меняющихся ограничениях на различные виды пассажирских перевозок (см.Таб.3, варианты 7,8,9,10).

Анализ этих вариантов показал, что они высокорентабельны. Наиболее экономичным является вариант 10. Однако, он предусматривает отказ от общественного транспорта. Следующим по экономичности является вариант 7. Он предполагает сохранение общественного транспорта без льгот. Даже 8 вариант (менее экономичный, чем 10 и 7), предусматривающий наличие перевозок общественным транспортом со льготами, прибыльнее варианта 1, и рентабельнее всех вариантов 1 этапа.

На 3 этапе исследовался вариант плана перевозок, предусматривающий увеличение затрат и ограничения на коммерческие виды перевозок (см. Таб.3 вариант 11). Вариант оказался самым нерентабельным.

На 4 этапе исследовались варианты плана, предполагающие увеличение затрат и верхних границ для коммерческих видов перевозок (см. Таб.3 варианты 12,13). Эти варианты высоко рентабельны и прибыльны. Они предусматривают к тому же сохранение общественных видов транспорта. Их можно рекомендовать. Однако, окончательный выбор варианта осуществляет ЛПР.

В заключении работы следует проанализировать полученные результаты.

 

 

* Рекомендация:

Если условия задачи несовместные, то рассмотрите варианты корректировки исходных данных и выберете наиболее целесообразный вариант.

** ЛПР – лицо, принимающее решение