Поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью 2-ого порядка в Е3 называют множество точек, декартовы координаты x, y и z которых удовлетворяют уравнению вида

 

-11-

Определение. Поверхностью 2-ого порядка в Е ³ называют множество точек, декартовы координаты x, y и z которых удовлетворяют уравнению вида

, (35)

где .

Как и для кривых 2-ого порядка можно найти специальную д.пр.с.к. , в которой оно принимает наиболее простой вид, позволяющий исследовать форму этой поверхности. Такой вид уравнений поверхностей 2-ого порядка называют каноническими. Всего существует 17 типов поверхностей 2-ого порядка, среди которых есть мнимые, например, или распадающиеся на пару параллельных плоскостей . Рассмотрим вещественные нераспадающиеся поверхности 2-ого порядка.

1) Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью (S) или цилиндром называется поверхность, которая образована множеством параллельных прямых L, называемых образующими, и пересекающих некоторую кривую K, называемую направляющей цилиндра.

 

 

Пусть образующие . Тогда , где

(36).

Возьмем любую точку . Точка . Следовательно, точка лежит на K, и потому ее координаты x и y удовлетворяют уравнению (36). Но точка М имеет те же координаты x и y, что и точка , следовательно, уравнению (36) удовлетворяют и координаты x, y точки

 

-12-

при любом значении z. А так как М - любая точка на цилиндре S, то уравнение (36) является уравнением и для (S):

, т.е. .-декартово произведение K и L.

Теперь ясно, что - уравнение цилиндра, когда , а - уравнение цилиндра при условии, что . Название цилиндра определяется названием его направляющей K. Таким образом, получаем уравнения цилиндров:

- эллиптический цилиндр;

 

- гиперболический цилиндр;

 

- параболический цилиндр;

 

 

2) Конические поверхности

 

-13-

Определение. Конической поверхностью (S) или конусом называется поверхность, образованная множеством прямых (образующих L), проходящих через одну и ту же точку - вершину конуса и пересекающих заданную кривую K (направляющую), не содержащую точку М ₀.

Без ограничения общности можно считать, что , а K лежит в плоскости П: , т.е. : .

Возьмем любую точку и пусть (). Тогда

(37)

так как .

Подставляя (37) в уравнение для K: найдем уравнение для (S). Действительно, пусть, например,

(38)

Тогда из (37) и (38) получаем уравнение

или (39) - эллиптического конуса с вершиной в точке О.

3) Поверхности вращения

Определение. Поверхность (S), образованная вращением некоторой плоской кривой L вокруг оси l, лежащий в ее плоскости, называется поверхностью вращения.

Пусть кривая L лежит в плоскости Ozy:

 

-14-

(40)

и .

Возьмем любую точку . Она лежит на окружности с центром в точке и радиуса . Но , а

, так как для точки М. Поэтому

.

Таким образом, имеем

(41)

Подставляя (41) в (40), получим уравнение поверхности вращения

. (42)

Если ту же кривую L вращать вокруг оси Oz, то уравнение поверхности вращения примет вид . (43)

Например, если - эллипс, то из (42) получаем

или

. (44)

Эту поверхность называют эллипсоидом вращения.

4) Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой имеет вид

, а > 0, b > 0, с > 0. (45)

 

-15-

Эллипсоид вращения (44) - частный случай поверхности (45). Форма эллипсоида исследуется методом сечений плоскостями , и , . Так как эллипсоид симметричен относительно осей Ox, Oy, Oz и плоскостей Oxy, Oxz, Oyz, то достаточно рассмотреть линию сечения его с плоскостью :

(46)

Если < с, то из (46) получаем в сечении эллипс :

(47)

с полуосями и в плоскости (). Числа , , называют полуосями эллипса . При уравнение (46) примет вид

.

Аналогично исследуется сечение эллипсоида с плоскостями и , которые позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность.

 

 

 

5) Однополосным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая уравнением

-16-

. (48)

Из (48) следует, что координатные плоскости служат плоскостями симметрии однополосного гиперболоида, а начало координат О - центром его симметрии. В сечении с координатными плоскостями и получим гиперболы

(49)

и (50)

а при сечении плоскостью получаем эллипс :

. (51)

Оказывается, что однополосный гиперболоид составлен в отличие от эллипсоида из двух семейств прямых. Если рассмотреть прямые где а, b, с -полуоси однополосного гиперболоида, то, перемножая эти равенства, получим уравнение (48).

Lh

b

Аналогично определяется второе семейство прямых для однополосного гиперболоида. При этом через каждую точку

 

-17-

однополосного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств.

6) Двуполосный гиперболоид можно задать уравнением

. (52)

Из (52) видно, что координатные плоскости , и служат плоскостями симметрии, а начало координат - центром симметрии. С осью Oz двуполосный гиперболоид пересекается в точках и - вершинах. С осями Ox и Oy точек пересечения нет. Плоскость , | h |> с, пересекает двуполосный гиперболоид по эллипсу :

, а в сечении с плоскостями и получаем гиперболы, в частности, если и , то эти гиперболы

и .

7) Эллиптическим параболоидом называют поверхность, задаваемую уравнением

, > 0. (53)

Так как в уравнении (53) координаты x и y входят в четных степенях, то поверхность имеет две плоскости симметрии Oyz и Oxz. Из (53) видно, что , т.е. поверхность проходит через начало координат О (0,0,0) и лежит выше плоскости Oxy. Сечение (53) с плоскостью , h > 0, - эллипс :

 

-18-

Сечения поверхности (53) с плоскостями и являются параболами, в частности при и - это параболы

и .

При получаем параболоид вращения.

 

8) Гиперболический параболоид - поверхность, задаваемая уравнением

, > 0. (54)

Из (54) видно, что гиперболический параболоид имеет две плоскости симметрии - Oxz и Oyz и проходит через начало координат О.

Рассечем поверхность (54) плоскостями . Получим кривую сечения которая при является гиперболой.

При - это две пересекающиеся прямые . При пересечении поверхности плоскостями и получаются параболы

ветви которых направлены вниз, и параболы

-19-

с ветвями, направленными вверх.

Таким образом, поверхность (54) имеет вид седла. Как и в случае однополосного гиперболоида можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной из прямых каждого из двух семейств прямых:

и

Замечание 1. Однополосный и гиперболический параболоиды являются как и цилиндры и конусы линейными поверхностями, так как они составлены из семейства прямых линий; куски таких поверхностей обладают большой жесткостью к внешним воздействиям, например, телевизионная башня Шухова В.Г. в г. Москва (была сооружена с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополосного гиперболоида).

Замечание 2. Хотя метод координат, лежащий в основе аналитической геометрии, вводится вполне естественно, но сам факт обоснования его вовсе не очевиден, даже в случае введения координаты на прямой. Обоснование метода координат на прямой производится с помощью системы аксиом, лежащих в основании геометрии, и которые делятся на пять групп:

Группа 1 содержит восемь аксиом принадлежности планиметрии (стереометрии).

-20-

Например, каковы бы ни были точки А и В $ прямая, проходящая через них.

Группа 2 содержит четыре аксиомы порядка планиметрии (стереометрии).

Например, что среди трех точек одной прямой $ не более одной, лежащей между ними.

Группа 3 содержит 5 аксиом конгруэнтности, например, если отрезки и конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны между собой.

Группа 4 содержит 2 аксиомы непрерывности (аксиома Архимеда и аксиома линейной полноты).

С помощью этих четырех групп аксиом можно обосновать метод координат, используемый в аналитической геометрии.

Имеется еще одна аксиома из группы 5, которая играет фундаментальную роль в обосновании самой геометрии. Это аксиома Евклида о параллельности: в плоскости, определяемой прямой L и точкой существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей L. Много столетий пытались доказать эту аксиому на основании аксиом групп 1-4. В 1826г. русский геометр Н.И. Лобачевский сделал доклад о своем, одном из самых выдающихся открытий в науке, в котором к аксиомам группа 1-4 он присоединил утверждение, отрицающее аксиому Евклида, и показал, что полученная геометрия является непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Впоследствии эту геометрию назвали неевклидовой геометрией Лобачевского, согласно которой сумма внутренних углов треугольника Ð2 p. Это находит подтверждение для расстояний, сравнимых с расстояниями от Земли до Солнца, а на малых расстояниях геометрия Лобачевского практически неотличима от геометрии Евклида.