Лабораторная работа 7 - Анализ и прогнозирования временных рядов на основе моделей ARMA
Цели и задачи лабораторной работы
В данной лабораторной работе, на основе динамического ряда денежного агрегата М0 (приложение М) 1 квартал 1999г. по 4 квартал 2005г., рассмотрим способы идентификации и построения ARMA модели, при этом выделим следующие задачи:
1) на основе фактических данных построить авторегрессионную и частную авторегрессионную функцию и сделать предположение о стационарности ряда;
2) с помощью вычисления разностей определить порядок ARMA модели;
3) построить наиболее адекватную имеющимся данным ARMA модель и сделать прогноз на 1-4 квартала 2006г. (сравним полученные результаты с фактическими данными).
Теоретические аспекты адаптивных методов прогнозирования
Основоположниками разработки адаптивных методов можно назвать Дж. Бокса и Г. Дженкенса. Авторы рассматривали так называемые ARMA модели, применение которых основывалось на стационарности исследуемого ряда. В настоящее время круг данных моделей расширен до ARIMA моделей (Авто Регрессия и Проинтегрированное Скользящие Средние) что позволило применять их к более широкому кругу временных рядов из-за снижения требований предъявляемых к исходному денамическому ряду.
В отечественной литературе проблемами построения авторегрессионных моделей посвящены работы Лукашина Ю.П. [ ], Конторовича Г.Г. [ ], Носко В.П. [ ] и Давнис В.В. [ ]. В приведенных работах освещены вопросы, касающиеся описания как одномерных, так и многомерных временных рядов с применением авторегрессионных моделей. Приведены модели развивающие подход Бокса и Дженкенса, допускающие наличие детерминированного или стохастического тренда, структурных изменений и т.д.
Согласно перечисленным работам процесс построения ARIMA моделей можно разбить на несколько этапов:
1 этап. С помощью соответствующих тестов проводят анализ динамического ряда на стационарность. Если в рассматриваемый временной ряд она присутствует, то переходят к третьему этапу построения.
Ряд, для которого выполнены указанные три условия:
- E (yt) ≡ µ - если процесс строго стационарный, то его математическое ожидание не зависит от времени;
- D (yt) ≡ σ2 – дисперсия строго стационарного процесса в каждый момент времени одинакова;
- Cov (yt, yt + τ) = γ(τ) для любых t и τ - автокорреляционная функция стационарного временного ряда зависит только от разности моментов времени (t 1- t 2).
называют стационарным в широком смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядкаили ковариационно стационарным).
2. этап. Если временной ряд не стационарный, то его с помощью соответствующих преобразований можно привести к стационарному.
Во-первых, можно применить d раз взятие разностей. Считается, что с помощью этой процедуры можно исключить тренд составляющую ряда.
Во-вторых, можно оценить линейный (или не линейный) тренд и вычесть его из исходных данных, т.е. 
(где 
или другая функция).
3. этап. Если мы предполагаем, что некоторый наблюдаемый временной ряд y 1, y2, …, y T порождается моделью ARMA, то при этом возникает проблема подбора конкретной модели из этого класса, решение которой предусматривает три этапа:
1) идентификациямодели;
2) оцениваниемодели;
3) диагностикамодели.
На этапе идентификации производится выбор некоторой частной модели из всего класса ARMA, т.е. выбор значений p и q. при этом можно руководствоваться поведением автокорреляционных и частных автокорреляционных функций (АКФ и ЧАКФ). Опираясь на свойства АКФ и ЧАКФ за годы практической работы с авторегрессионными моделями, исследователями были сформулированы некие правила выбора наилучшей модели, приведенные в работе [дуброва] и представленные таблицей 7.1.
На втором этапе производится уточнение оценок коэффициентов модели с использованием эффективных статистических методов. Для оцененных коэффициентов вычисляются приближенные стандартные ошибки, дающие возможность, при дополнительных предположениях о распределениях случайных величин y 1, y 2, …, строить доверительные интервалы для этих коэффициентов и проверять гипотезы об их истинных значениях с целью уточнения спецификации модели.
На третьем этапе применяются различные диагностические процедуры проверки адекватности выбранной модели имеющимся данным.
Неадекватности, обнаруженные в процессе такой проверки, могут указать на необходимую корректировку модели, после чего производится новый цикл подбора, и т.д. до тех пор, пока не будет получена удовлетворительная модель.
Таблица 7.1 – Свойство автокорреляционных и частных автокорреляционных функций
| Функции | АКФ | ЧАКФ |
| ARMA(1,0) | Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно) | Выброс (пик) на лаге 1 |
| ARMA(2,0) | Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны | Выбросы (пики) на лагах 1 и 2 |
| ARMA(0,1) | Выброс (пик) на лаге 1 | Экспоненциально затухает (монотонно или знакопеременно) |
| ARMA(0,2) | Выбросы (пики) на лагах 1 и 2 | Экспоненциально затухает или имеет форму синусоидальной волны |
| ARMA(1,1) | Экспоненциально затухает от значения r(1) (монотонно или знакопеременно) | Экспоненциально убывает от значения rч(1) (монотонно или знакопеременно) |
Рекомендуемая литература
Для лучшего понимания материала изложенного в данной главе необходимо дополнительно проанализировать следующие источники литературы (см. список использованных источников):
| Номер в списке литературы | Страницы | Номер в списке литературы | Страницы |
| 3.3 | 75-93 | ||
| 3.10 | 86-141 | ||
| 3.7 | - |
