Оценка нелинейной модели на основе пространственных данных

Лабораторная работа 10 - Оценка нелинейных регрессионных моделей

 

 

Цели и задачи лабораторной работы

 

В данной лабораторной работе на основе пространственных данных и временного ряда рассмотрим методы оценки нелинейных моделей, при этом выделим следующие задачи:

1) На основе данных об объеме промышленного производства, стоимости основных фондов и среднегодовой численности занятых в промышленности оценить производственную функцию Кобба-Дугласа.

2) На основе ряда численности безработных в РФ оценить параболу второго порядка, гиперболу и логарифмическую прямую.

Определение нелинейной регрессии и основные формы нелинейных моделей

 

В ходе проведения экономических исследований возникают ситуации, в которых линейные модели не приносят желаемых результатов. В подобных случаях, вероятно, необходимо прибегнуть к использованию нелинейных моделей.

В эконометрических исследованиях различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам (полиномы разных степеней, равносторонняя гипербола).

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная функция).

а) нелинейные модели внутренне линейные;

б) нелинейные модели внутренне нелинейные.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Рекомендуемая литература

 

Для лучшего понимания материала изложенного в данной главе необходимо дополнительно проанализировать следующие источники литературы (см. список использованных источников):

 

Номер в списке литературы	Страницы	Номер в списке литературы	Страницы

 

Оценка нелинейной модели на основе пространственных данных

 

В качестве примера нелинейной зависимости рассмотрим класс производственных функции. Которые отражают зависимости, существующие между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т.п. Ярким примером подобных моделей является производственная функция Кобба-Дугласа:

(10.1)

где: Y - объем производства,

K - затраты капитала,

L - затраты труда.

Показатели a и b являются коэффициентами частной эластичности. Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличится на a% (b%).

Данная функция относится к подклассу 2.1, поэтому данное уравнение можно свести к линейному виду. Для этого берут логарифмы левой и правой частей модели, в результате чего получаем:

lny = lnA+alnK+blnL

Далее заменяем y’= lny, x₁= lnK, x₂=lnL, получаем

(10.2)

а₁ – оценка a; а₂ – оценка b; а₀ – оценка lnA

Для построения производственной функции Кобба-Дугласа в пакте STATISTICA воспользуемся данными по 14 субъектам Приволжского федерального округа (приложение Т, таблица Т.1). В данном пакете программ существует два способа построения нелинейных моделей:

1) Использование модуля Fixed Nonlinear Regression

2) Использование модуля Multiple Regression

10.4.1 Построение нелинейной модели в модуле Fixed Nonlinear Regression

 

В пакете STATISTICA 6.0 существует специальный модуль Fixed Nonlinear Regression (Фиксированная нелинейная регрессия) предназначенный для оценки нелинейных моделей посредством линеаризации исходных зависимостей.

Для построения производственной функции в данном модуле необходимо:

Шаг 1. В главном меню выберем Statistics ® Advanced Linear/Nonlinear Models ® Fixed Nonlinear Regression (Статистика ® Выбор линейной/нелинейной модели ® Фиксированная нелинейная регрессия).

 

 

Рисунок 10.1 - Окно установок нелинейной регрессии

 

где: Extended precision computations - Вычисления с повышенной точностью

Review descriptive statistics, correlation matrix – Обзор описательных статистик, корреляционная матрица

Шаг 2. В появившемся окне Fixed Nonlinear Regression необходимо выбрать кнопку Variables и выделить переменные участвующие в расчете (в данном случае все переменные - ALL).

Шаг 3. В очередном окне Non-linear Components Regression (Компоненты не линейной регрессии) установим флажок напротив опции LN(X), тем самым будут рассчитаны логарифмы для всех переменных участвующих в оценке модели.

 

Рисунок 10.2 – Установка процедур линеаризации исходных переменных

 

Шаг 4. В окне Model Definition (Установки модели) выберем кнопку Variables и сделаем установки как показано на рисунке 3. В качестве зависимой переменной укажем LN-V1 в качестве независимых переменных укажем - LN-V2 и LN-V3.

 

 

Рисунок 10.3 – Окно выбора зависимой и независимых переменных для построения производственной функции

 

Рассмотрим результаты оценки производственной функции Кобба-Дугласа.

Согласно данным, приведенным в таблице 2, 98,2% вариации объема промышленного производства описывается вариацией факторов производства, также можно утверждать, что наблюдается сильная связь между исследуемыми показателями.

 

Таблица 10.1 – Показатели адекватности производственной функции Кобба-Дугласа

 

	Value
Multiple R	0,991
Multiple R?	0,982
Adjusted R?	0,979
F(2,11)	308,655
p	0,000
Std.Err. of Estimate	0,135

 

Полученная модель статистически значима согласно F -критерию Фишера, параметры модели значимы согласно t-критерию Стьюдента.

 

Таблица 10.2 – Результаты оценки производственной функции Кобба-Дугласа

 

	Beta	Std.Err. of Betta	B	Std.Err. of B	t(11)	p-level
Intercept			1,505	0,424	3,548	0,005
LN-V2	0,602	0,094	0,556	0,087	6,423	0,000
LN-V3	0,413	0,094	0,657	0,149	4,400	0,001

 

Интерпретировать полученные показатели можно следующим образом: при изменении стоимости основных фондов на 1%, объем промышленного производства изменится на 0,66%, а при увеличении среднегодовой численности занятых в данном секторе экономики на 1% произойдет увеличение зависимой переменной на 0,56%.

 

10.4.2 Построение нелинейной модели в модуле Multiple Regression

 

Прежде чем приступить к оценке функции Кобба-Дугласа вторым способом предварительно преобразуем исходные переменные, а именно рассчитаем логарифмы.

Шаг 1. Образуем новую переменную LN Y (сразу после переменной Y), для этого в поле Long name введем формулу =log10(v1), далее образуем LN K (после переменной K) введя формулу =log10(v3) и LN L (после переменной L) - =log10(v5)

Шаг 2. В главном меню выберем Statistics ® Multiple Regression, при этом в качестве зависимой переменной укажем LN Y в качестве не зависимых - LN K и LN L.

Сравнивая полученные итоговые таблицы с данными приведенными в таблицах 2 и 3 можно убедится в идентичности полученных результатов.