Еще один совет: элементарные преобразования системы будут выполняться проще, если с помощью этих преобразований добиваться, чтобы коэффициенты 
, становились равными 
или 
.
Общее решение системы (2) находится так: свободным неизвестным присваивают произвольные числовые значения; затем, последовательно двигаясь от последнего уравнения системы (2) вверх к первому уравнению, определяют базисные неизвестные в порядке 
.
Приведем конкретные примеры применения метода Гаусса к линейным системам
Пример 2. Найти общее решение системы 
. 
Решение. Применим метод Гаусса.
1. Поменяем местами первое и второе уравнения, получим эквивалентную систему
. 
2. С помощью первого уравнения исключим неизвестную 
из второго и третьего уравнений системы . Для этого:
а) прибавим во 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на число 
;
б) к 3-му уравнению прибавим 1-е уравнение.
В результате получим систему
. 
3. Два последних уравнения системы образуют подсистему, независящую от неизвестной 
.
Чтобы упростить последующие преобразования сделаем коэффициент 
, равным . Для этого вычтем из 2-го уравнения 3-е уравнение (т.е. прибавим ко 2-му уравнению 3-е уравнение, умноженное на число ). После этой операции получим систему
. 
4. Теперь, в системе с помощью 2-го уравнения исключим неизвестную 
из 3-го уравнения. Для этого прибавим к 3-му уравнению 2-е уравнение, умноженное на число 
.
В итоге получим систему треугольного вида
. 
В ней 
- базисные неизвестные, 
- свободная неизвестная.
5. Теперь из системы найдем общее решение. Положим 
, где 
- произвольное действительное число. Из 3-го уравнения находим 
.
Для облегчения последующих вычислений положим 
, где 
, как и , принимает произвольные действительные значения. Тогда 
.
Из 2-го уравнения находим 
.
Наконец, из 1-го уравнения находим 
.
Таким образом, получен следующий результат: система совместна, и ее общее решение представимо в виде
, 
, 
, 
, где 
. 
Проведем проверку. Для этого подставим найденные выражения неизвестных 
во все уравнения исходной системы (3).
.
Проверка подтвердила истинность решения .
Обычно для сокращения записей метод Гаусса проводят на расширенных матрицах системы. Расширенной матрицей системы называют матрицу 
, где 
- матрица системы, 
- вектор столбец свободных членов. Для системы (1) расширенная матрица запишется так:
.
1). Операция «перестановка уравнений системы» означает перестановку соответствующих строк расширенной матрицы.
2). Операция «перестановка поменять местами слагаемых с двумя выбранными неизвестными» означает перестановку соответствующих столбцов матрицы 
.
3). Операция «умножение уравнения на число, отличное от нуля» означает умножение на это число соответствующей строки расширенной матрицы.
4). Операция «прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на число» означает аналогичную операцию над строками расширенной матрицы.
Изложение метода Гаусса в примере 2 с применением расширенных матриц запишется в виде.
~ 
~
~ 
~ 
~ 
система .
Внизу, справа под матрицами указаны выполняемые над системой элементарные операции, выполненные над системой:
1. Переставили местами 1-е и 2-е уравнения.
2. Прибавили ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на число (
).
Прибавили к 3-му уравнению 1-е.
3. Прибавили ко 2-му уравнению 3-е, умноженное на число (
).
4. Прибавили к 3-му уравнению 2-е, умноженное на число ().
Далее находится общее решение системы (см пункт 5. решения примера 2).
Пример 3. Найти методом Гаусса общее решение системы
Решение проведем с использованием расширенных матриц.
~ 
~ 
~
1. Переставили местами 1-ю и 3-ю строки.
2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2.
Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число (
).
Прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ().
Прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ().
3. Прибавили 2-ю строку к 3-й строке.
Прибавили 2-ю строку к 4-й строке.
~ 
~ 
~ 
4. Прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ().
5. Отбросили 3-ю и 5-ю нулевые строки (они эквивалентны равенству 
).
Переставили местами 3-й и 4-й столбцы и над столбцами написали соответствующие
неизвестные.
- система треугольного вида. 
свободные неизвестные, 
базисные неизвестные.
Положим 
, где 
. Из 3-го, 2-го, 1-го уравнений системы последовательно находим неизвестные 
.
.
Ответ. Система совместна, и ее общее решение представимо в виде
, где .
Пример 4. Найти методом Гаусса общее решение системы 
.
Решение.
~ 
~ 
~
~ 
.
1. Прибавили 2-ю строку к 1-й строке.
2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 2.
Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на (
).
3. Прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 2.
Наличие в полученной системе невыполнимого равенства 
означает несовместность заданной системы уравнений.
___________________
Домашнее задание.
Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность):
1) 
; 2) 
.
