Теоремы динамики систем и законы сохранения

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

 

Учебный план № 601 ПМФ (очн)

 

Рекомендована [Методическим советом ФГАОУ ВПО УрФУ ]

[Учебно-методическим советом института]

[дата], протокол № [номер]]

 

 

для направления подготовки 511600 – Прикладные математика и физика

(Бакалавр прикладных математики и физики)

 

 

Специальность/Направление	Специализация/Программа магистратуры	Квалификация	Код дисциплины по учебному плану
Код	Наименование	Наименование	Код	Наименование
	Прикладные математика и физика	Прикладные математика и физика			Бакалавр

 

 

Екатеринбург 20__ г.

Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования [регистрационный номер (XXX) тех/дс от (ХХХХ ХХХХ г.)]

 

Рабочая программа составлена автором:

 

№	Фамилия	Имя	Отчество	Уч. звание	Уч. Степень	Должность	Подпись
	Чукин	Андрей	Владимирович	к.ф.-м.н.	Доцент	доцент

 

 

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры (учебно-методических советов):

 

№	Наименование кафедры (УМС)	Дата заседания	Номер протокола	Решение	ФИО зав. кафедрой (предс. УМС)	Подпись
	Теоретической физики и прикладной математики
	Теоретической физики и прикладной математики

 

 

Согласовано:

 

[Заместитель председателя Методического совета университета А.Ю.Коняев]

 

Начальник отдела образовательных программ Ю.В.Сердюк

 

Председатель учебно-методического совета

института [наименование института] [И.О. Фамилия]

........

[Председатель учебно-методического совета

института [наименование института] [И.О. Фамилия]]

 

 

АННОТАЦИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина посвященаизучению аналитических методов теоретической механики, используемых при описании движения материальной точки и механических систем. Основное внимание уделяется связи законов движения с фундаментальными свойствами пространства и времени. Излагаются механика Лагранжа, и Гамильтона, вариационные принципы механики, интегральные инварианты классической механики, канонические преобразования и уравнение Гамильтона-Якоби. Рассматривается классическая теория рассеяния и основные принципы устойчивости движения.

 

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цели дисциплины заключаются в следующем:

- знакомство с основами современной аналитической механики, формализмом Лагранжа, Гамильтона, методом Гамильтона-Якоби;

- изучение аналитических методов, используемых для описания динамики материальной точки и систем материальных точек;

- подробное изучение аппарата аналитической механики и приобретение навыков практического применения методов аналитической механики к решению задач.

 

 

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП

Междисциплинарные связи с обеспечивающими (предыдущими) дисциплинами

Изучение дисциплины требует от студентов знаний основ математического анализа, линейной алгебры, функций комплексного переменного. Желательно, чтобы ей предшествовали такие дисциплины как «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного».

 

Междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

Данная дисциплина является начальным курсом теоретической физики. После освоения дисциплины студенты приступают к изучению «теории поля» и «квантовой механики».

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

 

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать:

- знать основные понятия и теоремы аналитической механики;

 

Уметь:

- уметь применять на практике аппарат аналитической механики для решения задач;

 

Владеть:

- методами аналитической механики применительно к другим дисциплинам теоретической физики.

 

 

ВИДЫ, СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМЫ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

Содержание разделов дисциплины

Введение.

Задачи аналитической механики. Преимущества методов аналитической механики.

Лагранжева механика.

Элементы вариационного исчисления. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, вариация, экстремаль функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа. Обобщение на случай нескольких независимых функций. Уравнения Лагранжа второго рода для голономных связей. Функция Лагранжа. Конфигурационное пространство механической системы. Обобщенные координаты. Метрическая матрица. Принцип наименьшего действия Гамильтона. Уравнения Лагранжа. Ковариантность их к преобразованиям обобщенных координат. Обобщенные импульсы. Циклические координаты и интегралы движения. Функция Лагранжа материальной точки в центрально-симметричном поле.

 

Теоремы динамики систем и законы сохранения.

Закон сохранения энергии системы. Первый интеграл уравнений движения как интеграл энергии консервативной системы. Закон сохранения энергии как следствие однородности времени. Зависимость общего решения уравнения движения от интегралов движения. Аддитивные интегралы движения. Закон сохранения импульса системы. Однородность пространства и сохранение полного импульса системы. Замкнутая механическая система. Ограничения, налагаемые законом сохранения импульса на взаимодействие между телами в замкнутой системе. Закон сохранения момента импульса системы. Изотропность пространства. Уравнение движения момента импульса системы. Момент силы. Сохранение момента импульса материальной системы. Возможность сохранения момента импульса в незамкнутой системе. Теорема Нетер. Интегралы движения замкнутой системы. Задачи двух и трех тел. Группы симметрии. Теорема Э.Нетер о связи интегралов движения с группой инвариантности действия. Скрытые интегралы движения.

Гамильтонов формализм.

Канонические уравнения Гамильтона. Преобразования Лежандра. Функция Гамильтона и ее физический смысл. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа. Зависимость функции Гамильтона от циклических координат. Уравнения Рауса для систем с циклическими координатами. Уравнение движения динамической величины. Канонические переменные. Скобки Пуассона. Оператор Лиувилля. Свойство скобок Пуассона. Тождество Якоби. Теорема Пуассона и ее физический смысл. Канонические преобразования. Производящие функции и уравнения канонических преобразований. Симплектическое пространство. Уравнение Гамильтона в симплектических координатах. Инвариантность скобок Пуассона к каноническим преобразованиям. Изменение динамических величин при бесконечно малых канонических преобразованиях. Инфинитоземальные канонические преобразования. Движение как бесконечная совокупность канонических преобразований. Интегральные инварианты. Фазовое пространство и фазовый портрет механической системы. Фазовый объем. Статистический ансамбль и его плотность. Сохранение объема фазовой жидкости. Интегральные инварианты Пуанкаре. Абсолютные и относительные инварианты. Первый и последний инвариант Пуанкаре. Теорема Лиувилля.

 

Метод Гамильтона-Якоби.

Суть метода Гамильтона-Якоби. Роль производящей функции при интегрировании уравнений движения. Уравнение Гамильтона-Якоби. Действие как производящая функция канонического преобразования. Решение уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных. Уравнение Гамильтона-Якоби для консервативных систем. Укороченное действие. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. Краткое сравнение методов Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона-Якоби.

 

Столкновения частиц.

Распад частиц. Определение и постановка задачи. Законы сохранения и энергия распада. Использование лабораторной (Л) и системы центра инерции (Ц) для анализа распада частиц. Диаграмма скоростей. Упругие столкновения частиц. Соотношения между скоростями в Л и Ц системах до столкновения, скорость относительного движения. Использование законов сохранения для анализа столкновений в Ц системе. Недостаточность такого описания. Формула для скоростей и импульсов столкновения. Диаграммы импульсов. Случай, когда одна из частиц покоилась до столкновения. Общее выражение для скоростей и углов отклонения. Угол разлета. Столкновения частиц одинаковой массы. Рассеяние частиц в поле центральной силы. Постановка задачи. Плотность потока частиц. Прицельное расстояние. Дифференциальное сечение рассеяния. Полное сечение рассеяния. Формула Резерфорда для кулоновского рассеяния.

 

Устойчивость движения.

Возмущение в динамической системе. Невозмущенные движения, устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Знакоопределенные функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости невозмущенного движения. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы. Критерий Рауса-Гурвица.