Шін Гаусс теоремасына сәйкес

2. үшін Гаусс теоремасына сәйкес:

Жауабы:

div =0; rot ;

div = + =

grad Үстіңгі есепте шығарғаннан белгілі: ;

grad grad

Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напреженностью:

а) E =

a и b постоянные вектора.

rot ;

Жауабы: Болмайды. Өйткені rotE , rotE = 2a

 

Тежеуші біртекті Е электр өрісінде релятивистік зарядталған бөлшектің е заряды мен m массасы және бастапқы энергиясы ξ арқылы бөлшектің бастапқы жылдамдығына параллель жүрген жолын l анықтау керек.

Шешуі:

Үш өлшемді формадағы қозғалыс теңдеуі және энергияның сақталу заңы:

Осы формула бөлшектің туынды жылдамдығы үшін қолданылады.

Мұндағы - бөлшектің кинетикалық энергиясы.

Екі теңдеуді өзара теңестіріп, мәнін аламыз.

Осыдан , онда

Қорыта келе,

Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему с плотностью .

Найти потенциал ?

 

Решение:Пуассон теңдеуінен формуласы:

 

х=0 нүктесінде =0+0+C; C=0

пластина ішіндегі потенциал.

 

1)

2) ;

Жауабы:

Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра r по закону (r)= ₀a²/r² . Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью ₀ , у которого площадь обкладки 4 a², расстояние между обкладками b – a (краевым эффектом пренебречь).

 

 

Шешуі:

(r)= ₀a²/r² s= 4 a²

 

1) C =

 

 

Өйткені, сондықтан D_n=D

 

D*4 ²=

 

D=q/r²

 

E= = Dr²/ ₀a² =qr²/r² ₀a²=q/ ₀a²

₀a² dr =q/ ₀a²(b-a) C= ₀a²/q(a-b)

 

 

2) C = E=D/ ₀

 

 

D*4 ²=

 

D=q/a² E=q/ ₀a²

 

(b-a) C= ₀a² /q(a-b)

 

Жауабы: C= ₀a² /q(a-b)

Плоскость z = 0 заряжена с плотностью меняющейся по периодическому закону , где , , – постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.

 

Қазақша:

Берілгені:

z = 0 жазықтығы тығыздығы болатын периодтық заңымен өзгереді. Осы зарядтар жүйесінің потенциалын табу керек. Мұндағы , , – тұрақтылар.

 

Шешуі:

потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады:

 

(1)

 

Зарядтадған жазықтықта электр өрісінің нормаль құраушысы:

 

(2)

 

көлемдік тығыздығы әрқайсысы x және y координаталарына тәуелді болатын екі функцияның туындысы болғандықтан, (1) теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

 

(3)

 

(3) функциясын (1) теңдеуге қойып, әр қосылғышты -ға бөлеміз:

 

(4)

 

(4) теңдеуі барлық координатасын қанағаттандыру үшін әр қосылғыш үшін тұрақты шама енгіземіз. Яғни,

 

болсын. Берілген теңдеудің жалпы шешімі мына функция болып табылады:

 

 

ұмтылғанда, шексіздікке ұмтылмауы қажет, себебі өріс айнымалы таңбалы зарядтардан құралады. Бұл шартпен мына шешімді қанағаттандыра аламыз:

.

, .

 

Бұл екі теңдеудің шешімі – гармоникалық функциялар. (2) гармоникалық шартты қанағаттандыру үшін, былай алуымыз керек:

 

, ; ,

Сонда, . Сонымен:

 

.

 

Электр өрісінің нормаль құраушысы . Сондықтан

 

,

.

Осы мәнді (2) теңдеуге қойып, екенін табамыз. Соңында потенциал айырымы мына түрге келеді:

,

 

мұндағы .

 

Жауабы:

Бірінші ортада векторының күш сызықтары нормаль бағытымен θ₁ бұрыш құрайды. Екінші ортадағы өрісінің күш сызықтарының бағдарын табыңыз.

Шешуі:

Шекаралық шарттарды пайдаланайық.

,

немесе

,

Бірінші теңдеуді екіншіге бөлейік:

яғни,

.

Егер ε₂ → ∞, онда θ₂ → π/2, яғни бірінші ортадағы электр өрісінің бағытына тәуелсіз екенін айта кеткені жөн.

 

Жауабы: .

Интеграл по обьему преобразовать интеграл по поверхности.

бұдан Остр-Гаусс теоремасы бойынша

 

б) через сферу

 

1.

(сфера үшін)

 

2.