Nbsp; 1. Построение экономико-математических моделей задач

Линейного программирования

 

Рассмотрим процесс построения математических моделей задач линейного программирования на примерах.

 

Пример 1. Определение оптимального ассортимента продукции.

 

Предприятие изготавливает два вида продукции – П₁ и П₂, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П₁ и вида П₂ дан в таблице

Таблица

Вид сырья	Расход сырья на 1 ед. продукции вида П1	Расход сырья на 1 ед. продукции вида П2	Запас сырья, ед.
А
В

 

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спроса на продукцию П₂ больше, чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П₂ никогда не превышает 2 ед. сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны:

3 денежные единицы – для П₁;

4 денежные единицы – для П₂.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

 

Решение.

 

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

 

Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так:

Фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

 

Для построения математической модели необходимо идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что предприятие изготовит х₁ единиц продукции вида П₁ и х₂ едини ц продукции вида П₂. Поскольку производство продукции П₁ и П₂ ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

 

 

Доход от реализации х₁ единиц продукции П₁ и х₂ единиц продукции составит

 

 

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение.