Справочные материалы Аналитическая геометрия
Вектора
= (x 2 – x 1; y 2– y 1; z 2– z 1)
Длина вектора
или 
Направляющие косинусы вектора
Единичный вектор
Орт вектора 
| Скалярное произведение | Векторное произведение | Смешанное произведение |
Число
 ×  = ï ïï ï cosj
| Вектор
´ = 
| Число
|
| Свойства:
1) × = ï ï2;
2) × = 0, если ^ ;
3) × = × ;
| Свойства:
1)  ;
2)  , если ïï
| Свойства:
1) 
2)  
3)  , если вектора компланарны
|
Приложения:
Угол между векторами
Проекция вектора на вектор
| Приложения:
Площадь параллелограмма
| Приложения:
Объем параллелепипеда и пирамиды
V = 
Vпир = 
|
Прямая на плоскости
Основные типы уравнений прямых на плоскости
| Название | Уравнение | Что дано | Иллюстрация |
| Общее | Ах + Ву + С = 0 | Коэффициенты А и В – координаты нормального вектора 
| |
| С угловым коэффициентом | 
| 
угловой коэффициент k или угол наклона α
|  – угловой коэффициент,
b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ
|
| В данном направлении | 
|  ,
угловой коэффициент k или угол наклона α
| 
|
| Через две точки | 
| 
| 
|
| В отрезках | 
| Прямая отсекает на координатных осях отрезки a и b | 
|
| Перпендикулярно вектору | 
|
| – нормальный вектор
|
| Каноническое | 
|
|  – направляющий вектор
|
| Полярное | 
| р – расстояние от начала координат до прямой,  – угол отклонения перпендикуляра р от координатной оси
| 
|
| Нормальное | 
| р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от оси ОХ
| Нормирующий множитель
(общее→нормальное)
|
Основные задачи на плоскости
1. Расстояние между точками 
и 
2. Площадь треугольника с вершинами в точках , , 
3. Деление отрезка в данном отношении λ
4. Угол 
между прямыми 
и 
5. Параллельность и перпендикулярность прямых
6. Расстояние от точки 
до прямой 
: Ах + Ву + С = 0
Основные виды кривых второго порядка на плоскости
| Название кривой | Вид уравнения | Основные сведения о кривой | Вид кривой |
| Окружность | 
| R – радиус
Центр в точке 
| 
|
| Эллипс | 
| a – большая полуось,
b – малая полуось
Вершины эллипса А (а; 0), А ’(– a; 0), В (0; b), В ’(0; – b)
с – фокусное расстояние, 
Фокусы F 1(c; 0), F 2(– c; 0)
e – эксцентриситет, 
| 
|
| Гипербола | 
| a – действительная полуось,
b – мнимая полуось
Вершины гиперболы А (а; 0), А’ (–a; 0),
с – фокусное расстояние, 
Фокусы F 1(c; 0), F 2(– c; 0)
e – эксцентриситет, 
Асимптоты 
| 
|
| Парабола | 
| р – параметр параболы ОХ – ось симметрии Фокус F (р /2; 0) Директриса y = –p / 2 | 
|
| р – параметр параболы ОУ – ось симметрии Фокус F (0; р /2), Директриса y = –p / 2 | 
|
Уравнение 
всегда определяет:
– окружность, при А = С,
– эллипс, при АС >0,
– гиперболу, при АС <0,
– параболу, при АС = 0.
При этом возможны случаи вырождения:
– для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность);
– для гиперболы – в пару пересекающихся прямых;
– для параболы – в пару параллельных прямых.
Прямая и плоскость в пространстве
Основные типы уравнения плоскости в пространстве
| Название уравнения | Вид уравнения | Что дано | Примечание |
| Общее уравнение плоскости | 
|  – нормальный вектор плоскости или нормаль
| |
| Уравнение плоскости, проходящее через заданную точку, перпендикулярно данному вектору | 
|  ,
нормаль  .
|  – произвольная точка
|
| Уравнение плоскости, проходящей через три точки | 
| 
| – произвольная точка
|
| Уравнение плоскости в отрезках | 
| а – по Ox, b – по Оу, с – по Оz. Отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат | 
|
| Нормальное уравнение плоскости | 
| р – расстояние от начала координат до плоскости
 – углы, образованные вектором  с осями Ox, Oy, Oz.
|  – единичный вектор, направленный по перпендикуляру ОК = р, опущенному на плоскость из начала координат
|
