для студентов II курса заочной формы обучения

 

Лекции – 18 часов.

Практические занятия –18 часов.

Контрольная работа.

Всего часов 36.

№ п/п	Тема занятия	Кол. часов
Лекции
1.	Двойные и тройные интегралы и их свойства. Представление об интегралах любой кратности.
2.	Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
3.	Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода. Переход к от декартовых полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
4.	Применение кратных интегралов для вычисления объёмов и площадей, для решения задач физики.
5.	Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и способы нахождения.
6.	Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и способы вычисления.
7.	Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.
8.	Комплексные числа и действия над ними. Понятие функции комплексного переменного.
9.	Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
10.	Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности.
11.	Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли.
12.	Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
13.	Основные понятия комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания). Основные понятия теории вероятностей. Относительная частота. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
14.	Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
15.	Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Числовые характеристики равномерного, показательного и нормального распределений. Закон больших чисел.
16.	Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.
Практические занятия
1.	Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода. Переход к от декартовых полярным, цилиндрическим и сферическим координатам (по лекциям №1 и 2).
2.	Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и способы нахождения. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и способы вычисления. Формула Грина (по лекции №3).
3.	Комплексные числа и действия над ними. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного (по лекции №4).
4.	Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли (по лекциям №5 и 6).
5.	Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных с постоянными коэффициентами (по лекции №6).
6.	Определение вероятности. Решение задач с использованием основных теорем о вероятности случайных событий: сумма и произведение событий (по лекции №7).
7.	Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение (по лекции №7).
8.	Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение (по лекции №8).
9.	Элементы математической статистики. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки неизвестных параметров. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез (по лекции №9).

Рекомендуемая литература

1. В.С. Щипачев. Высшая математика (учебник). М.: Высшая школа 1998.

2. В.С. Щипачев. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа 2000.

3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1 и 2. М.: Наука. 1970–1978.

4. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа. 2001.

5. В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа. 2001.

6. В.И. Романов. Теория вероятностей (учебное пособие). М.: ГУЗ. 2003.

7. В.И. Романов. Методические указания. Статистика. М.:ГУЗ. 2005.

8. А.В. Червяков, А.Ю. Репин. Методические указания. Кратные и криволинейные интегралы, функции комплексного переменного, дифференциальные уравнения. М.: ГУЗ. 2005.

9. А.В. Червяков, А.Ю. Репин. Учебное пособие. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ГУЗ. 2006.

Вариант №1

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – отрезок с концами (1,1) и (2,3).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : .

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию :

.

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса, содержащиеся в экзаменационном билете; б) только два вопроса своего экзаменационного билета; в) только один вопрос своего экзаменационного билета.

Задача №12

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Используя асимптотические формулы, оценить, вероятность того, что в 225 испытаниях событие наступит не менее 170 и не более 185 раз.

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины. .

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

 

Вариант №2

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – отрезок с концами (1,0) и (0,2).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : .

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

 

 

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию : .

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,002, для второго – 0,003, для третьего – 0,004. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

Задача №12

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых испытаний равна 0,001. Оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях событие наступит 12 или 13 раз.

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины. .

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант №3

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой :

, – граница треугольника с вершинами (0,0), (0,2), (2,0).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : .

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию : .

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

На овощехранилище поступает продукция от трёх хозяйств. Причём продукция первого хозяйства составляет 20%, второго – 46% и третьего – 34%. Известно, что средний процент нестандартных овощей для первого хозяйства равен 3%, для второго – 2%, для третьего – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятый овощ произведён на первом или втором хозяйстве, если он оказался нестандартным.

Задача №12

30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что 4 или 5 из них высшего сорта?

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины: .

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала ,

шаг .

–29

–22

–16

–20

–16

–18

–28

–20

–32

–22

–23

–26

–10

–25

–25

–29

–29

–19

–12

–26

–18

–20

–9

–24

–20

–19

–26

–23

–11

–26

–30

–23

–30

–18

–20

–13

–17

–24

–28

–26

–21

–21

–26

–24

–36

–23

–24

–25

–20

–23

–17

–11

–22

–19

–19

–25

–29

–23

–16

–25

–15

–18

–17

–19

–21

–12

–24

–30

–33

–22

–15

–18

–26

–22

–19

–25

–23

–21

–22

–22

–25

–16

–25

–19

–17

–30

–13

–25

–19

–24

–17

–24

–16

–23

–15

–22

–22

–19

–20

–19

–33

–14

–17

–21

–16

–24

–13

–20

–19

–17

–13

–27

–25

–25

–19

–22

–22

–22

–23

–9

–11

–22

–24

–18

–19

–18

–31

–16

–18

–24

–14

–23

–26

–25

–19

–23

–24

–21

–26

–25

–18

–16

–30

–16

–24

–13

–14

–18

–22

–22

–28

–18

–21

–27

–31

–23

–23

–27

–21

–21

–22

–34

–24

–20

–24

–21

–32

–16

–18

–15

–22

–15

–15

–22

–18

Вариант №4

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой : , – отрезок с концами (0,–2) и (4,0).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы : .

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию : .

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

На склад поступает продукция трёх фабрик. Причём продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 45% и третьей – 35%. В продукции первой фабрики 5% нестандартных изделий, в продукции второй – 2%, третьей – 1%. Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено на первой или третьей фабриках.

Задача №12

Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 50%. Оценить вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей половина окажется высшего сорта.

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины.

.

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант №5

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой :

, – граница треугольника с вершинами (0,0), (0,1), (1,0).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы :

.

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию : .

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

Количество продукции, поступающей на обработку от трех цехов, определяется соотношением 3:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов, соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая единица продукции оказалась годной. Какова вероятность того, что она поступила из второго цеха?

Задача №12

Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Оценить вероятность того, что событие в 100 испытаниях наступит не менее 20 раз и не более 30 раз.

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины: .

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг