ЗАДАЧИ К БИЛЕТАМ ПО ГЕОМЕТРИИ
Тема. Смежные и вертикальные углы.
1.
А) Углы ABD и ABC смежные, луч ВО – биссектриса угла ABD. Найдите Ð ОBD, если Ð АВС = 40°.
Б) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки М, Р, К соответственно, так, что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что Ð МКР = 90°.
В) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и МВ пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС = CD = BD. Докажите, что АС=ОВ.
2.
А) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы.
Б) Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; ÐDBE = 60°, ÐА = ÐС. Найдите угол, смежный с углом А.
B) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, причем ОА = OD. На отрезке AD отмечена точка Р, так что ÐСОР = ÐВОР. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника AOD принадлежит отрезку ОР.
3.
А) В треугольнике АВС ÐА = 20°, ÐВ = 100°. На стороне АВ отмечена точка D так, что ÐACD = 40°. Найдите углы треугольника BCD.
Б) В треугольнике АВС ÐА = 100°. Биссектрисы СС1 и ВВ1 пересекаются в точке D. Найдите угол BDC.
В) На окружности диаметром АВ взята точка С; ÐСАВ = 70°. Найдите ÐСВА и ÐАСВ.
Тема. Признаки равенства треугольников.
1.
А) В треугольнике АВС АВ = ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС. MD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что rAMD = rBHE.
Б) Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1. О и О1 – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, ОА = О1А1. Докажите, что r АВС = r А1В1С1.
В) На сторонах АВ, ВС, АС отмечены точки С1, А1, В1 соответственно, так что отрезки СС1, АА1, ВВ1 пересекаются в точке О. На отрезке ОС взята точка С2, а на отрезках ОА и ОВ точки А2 и В2 соответственно; ОА1 = ОА2, ОВ1 = ОВ2, ОС1 = ОС2. Докажите, что треугольники А1В1С1 и А2В2С2 при наложении совместятся.
2.
А) На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.
Б) В равнобедренном треугольнике АВС BD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч BD – биссектриса угла MDH. Докажите, что АМ = НС.
В) В треугольнике АВС на высоте BD отмечена точка О; ÐOAD = ÐOCD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС.
3.
А) В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что rАМК = rКНС.
Б) Даны треугольники АВС и А1В1С1 с высотами СD C1D1, ÐB = ÐB1 = 45°, CD = C1D1, AB = A1B1. Докажите, что rАВС = rА1В1С1.
В) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н. Отрезки АН и МС пересекаются в точке D; MD = DH, ÐHAC = ÐMCA. Можно ли совместить наложением отрезки ВМ и ВН?
Тема. Сумма углов треугольника.
1.
А) В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.
Б) В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна а. Найдите боковую сторону.
В) Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е. ÐМКА = 140°, ÐМЕС = 130°, ÐА = 60°, ÐС = 80°. Найдите ÐКМЕ.
2.
А) В треугольнике АВС ÐА = 20°, ÐВ = 100°. На стороне АВ отмечена точка D так, что ÐАСD = 40°. Найдите углы треугольника BCD.
Б) В треугольнике АВС ÐА = 100°. Биссектрисы СС1 и ВВ1 пересекаются в точке D. Найдите угол BDC.
В) На окружности с диаметром АВ взята точка С; ÐСАВ = 70°. Найдите ÐСВА и ÐАСВ.
Тема. Равнобедренный треугольник.
А) Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.
Б) В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота BD равна 8 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 24 см.
В) В треугольнике АВС внешние при вершинах углы А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника АВС равен 36 дм, а периметр треугольника ABD равен 24 дм.
