Лемма о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость

Билет № 1

Аксиомы стереометрии и следствия из аксиом. Доказательство одного из них.

Аксиомы:

А1. Через 3 точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, при этом только одну.

 

 

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

 

 

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

 

 

Следствия:

1 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, при том только одну.

 

Дано: прямая а, А а

Доказательство:

1) В а

С а

2) По А1 – через А, В, С проходит α

3) По А2 – а α

4) Α – единственная плоскость

 

2 Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Дано: прямая а, прямая b, а b=М

Доказательство:

1)N b, N≠М

2)По следствию 1: через а и N проходит α

3)По А2: b α, так как М α, N α.

 

Из аксиом и следствий следует, что плоскость задается:

· Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

· Прямой и не лежащей на ней точкой;

· Двумя пересекающимися прямыми.

 

2. Задача по теме «площадь поверхности призмы».

Билет № 2

 

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых.

Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной.

Дано: прямая а, М а

Доказательство:

Через прямую а и М проходит плоскость α. Через М можно провести только одну прямую, параллельную а, при этом она будет лежать в плоскости α.

b – единственная прямая, проходящая через М параллельно прямой а.

 

Теорема: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Дано: аǁс, bǁс

Доказать: аǁb (а α, b α, а и b не пересекаются)

Доказательство:

1)отметим К на прямой b и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую а и точку К. Докажем, что b α. Допустим b α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с α. Но так как аǁс, то и прямая а пересекает α, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α.

2)прямые а и и не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), которые параллельны с, а этого никак не может быть. Значит, а не пересекает b.

2. Задача по теме: «Угол между прямой и плоскостью»

 

Билет № 3

Лемма о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: аǁb, а α=М

Доказать: b α

Доказательство: Обозначим буквой β плоскость, в которой лежат параллельные а и b. Так как две различные плоскости α и β имеют общую точку М, то по А3 они пересекаются по некоторой прямой р. Эта прямая лежит в плоскости β и пересекает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая р лежит так же в плоскости α, поэтому N – точка плоскости α. Следовательно, N – общая точка прямой b и плоскости α.

Докажем теперь, что N – единственная точка пересечения b и α. Если бы прямая b имела еще одну общую точку с плоскостью α, то она целиком лежала бы в плоскости α и, значит, была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой р. Но это невозможно, так как прямые а и b параллельны, а прямые а и р пересекаются.

2. Задача по теме «Площадь поверхности пирамиды».

Билет №4