Первый признак равенства треугольников

Виды углов

 

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами. На рисунке (a2b) и (a1b) смежные углы.

Теорема Сумма смежных углов равна 180?.

Доказательство.

Пусть ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы. Полупрямая b разбивает развернутый угол (a1a2) на два угла. Значит ∠(a2b) + ∠(a1b) = ∠ (a1a2) = 180?. Т.е. сумма смежных углов равна 180?. Теорема доказана.

Теорема

Если два угла равны, то смежные с ним углы равны.

Доказательство.

Углы ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы и ∠(с2d) и ∠(с1d) тоже смежные углы.
Пусть ∠(a1b) = ∠(с1d). Но из ранее доказанного следует, что ∠(a1b) + ∠(a2b) =180° и ∠(с1d) + ∠(с2d) =180°. Тогда ∠(a1b) =180° - ∠(a2b) и ∠(с1d) =180° - ∠(с2d). А углы ∠(a1b) и ∠(с1d) равны, следовательно 180° - ∠(a2b) =180° - ∠(с2d). Из этого видно, что ∠(a2b) = ∠(с2d). Теорема доказана.

Угол называется острым, если его градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°.
Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
Угол равный 90°, называется прямым.
Если угол острый, то смежный с ним угол тупой и наоборот.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла. Пары углов ∠(a2b2) и ∠(a1b1), ∠(a2b1) и ∠(a1b2) – вертикальные углы.

Теорема.

Вертикальные углы равны.

Доказательство.

Пусть ∠(a2b2) и ∠(a1b1) – вертикальные углы. Угол (a2b1) является смежным ∠(a2b2) и ∠(a1b1) и дополняет их до 180°, по теореме о сумме смежных углов, следовательно ∠(a2b2) и ∠(a1b1) равны. Теорема доказана.

∠(a2b2) = ∠(a1b1), ∠(a2b1) = ∠(a1b2).

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке O.
Углом между прямыми a и b считается угол AOB.

 

Угол

 

Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки.

Угол обозначается тремя точками «угол AOB»: берется одна любая точка на одном из лучей угла (точка А), вершина угла (точка О) и одна любая точка на другом луче угла (точка В). Можно обозначить это угол как «угол ВОА». Запись «угол АОВ» и «угол ВОА» обозначают один и тот же угол. В место слова угол употребляют знак ∠. Угол АОВ можно записать так:

1. ∠АОВ, ∠ВОА;
2. ∠О – точка О вершина угла;
3. ∠(ab) – a и b лучи угла.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами.

Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Угол СОD – развернутый угол с вершиной О.

Говорят, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. Луч с исходит из точки О, проходит между сторонами угла ab и пересекает отрезок АВ.

Аксиома

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Углы измеряются в градусах.

Угол (ab) равен сумме углов (ac) и (cb). ∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb).

Аксиома

От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

 

Угол

 

Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки.

Угол обозначается тремя точками «угол AOB»: берется одна любая точка на одном из лучей угла (точка А), вершина угла (точка О) и одна любая точка на другом луче угла (точка В). Можно обозначить это угол как «угол ВОА». Запись «угол АОВ» и «угол ВОА» обозначают один и тот же угол. В место слова угол употребляют знак ∠. Угол АОВ можно записать так:

1. ∠АОВ, ∠ВОА;
2. ∠О – точка О вершина угла;
3. ∠(ab) – a и b лучи угла.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами.

Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Угол СОD – развернутый угол с вершиной О.

Говорят, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. Луч с исходит из точки О, проходит между сторонами угла ab и пересекает отрезок АВ.

Аксиома

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Углы измеряются в градусах.

Угол (ab) равен сумме углов (ac) и (cb). ∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb).

Аксиома

От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Виды треугольников

 

Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу. Δ ABC и Δ DEF разносторонни треугольники.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Δ PKM – равносторонний треугольник.
На сторонах треугольника ставят черточки, чтобы графически показать равные и различные по длине стороны треугольника. Если число черточек на сторонах треугольника совпадает, то эти стороны равны. PK=PM=KM.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.

 

Равенство треугольников

 

Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.

Равные углы обычно графически отмечают одной, двумя или тремя дужками.

Аксиома

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Высота треугольника Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2. Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны. EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH. Медиана треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника. RX – медиана угла SRT. SX = XT.

 

Равенство треугольников

 

Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.

Равные углы обычно графически отмечают одной, двумя или тремя дужками.

Аксиома

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Высота треугольника

 

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.

B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2.

Биссектриса треугольника

 

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.

EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.

Медиана треугольника

 

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

RX – медиана угла SRT. SX = XT.

 

Первый признак равенства треугольников

 

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.

Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.

Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.

Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.

Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.