Определение матрицы. Понятие подматрицы. Операции над матрицами и их свойства.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы. Подматрицей матрицы А является матрица, которая состоит из невычеркнутых элементов первоначальной матрицы.
Операции над матрицами:
· Транспонирование – переход от матрицы А к матрице АТ , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
· Сложение матриц. Они должны быть одинаковой размерности и одноимённые элементы складываются.
· Умножение матриц на число.
· Вычитание матриц. А-В=А=(-1)В
· Умножение матриц. Правило умножения: Произведением матриц АВ называется такая матрица С каждый элемент которой равен сумме произведений элементов итой строки матрицы А на элементы житого столбца матрицы В.
Деления в матрицах нет!
Свойства операций:
· А+В=В+А
· А+(В+С)=(А+В)+С
· А=ВÞА+С=В+С
· a*А=А*a
· a*(b*А)= (a*b)*А
· a*(А+В)= a*А+a*В
· АТ *В=А*ВТ
· АТ *(В+С)= АТ *В+ АТ *С
· А*Е(единичная матрица)=А или Е*А=А
· А*(В+С)=А*В+А*С
· a*(А*В)= (a*А)*В=А*(a*В)
· А*(В*С)=(А*В)*С главное порядок
Понятие определителя квадратной матрицы порядка n. Свойства определителей. Методы вычисления определителей. Примеры.
Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.
Вырожденная матрица – определитель = 0
Невырожденная матрица – определитель ≠ 0
Определитель матрицы первого порядка = элементу этой матрицы.
Определитель матрицы второго порядка, называется число которое вычисляется по формуле:
Определитель матрицы третьего порядка, называется число которое вычисляется по формуле (правило треугольника или правило Саррюса):
Определители n-го порядка
Теорема: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.
Это метод вычисления определителей, и его называют метод разложения по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца.
Определитель диагональной матрицы = произведению элементов главной диагонали.
Свойства определителей:
· Если какая-нибудь строка (столбец) состоит только из нулей, то её определитель равен нулю.
· Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то и весь определитель умножается на число.
· При транспонировании матрицы её определитель не изменится.
· При перестановке двух строк или столбцов матрицы, её определитель меняет знак на противоположный.
· Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки или столбца, то её определитель будет равен нулю.
· Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель будет равен нулю.
· Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраическое дополнение элементов другой строки или столбца этой матрицы равна нулю.
· Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки или столбца матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженное на одно и тоже число. Получаем нули.
· Определитель произведения двух матриц равен произведению двух определителей.
Определение обратной матрицы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы (на примере).
Обратная матрица - такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
А*А-1=А-1*А=Е
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Теорема:
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
Определение ранга матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений.
Рангматрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Вырожденная матрица – определитель = 0
Невырожденная матрица – определитель ≠ 0
Матричная запись системы линейных уравнений:
AX = B, где
