Определение ранга матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений

Определение матрицы. Понятие подматрицы. Операции над матрицами и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы. Подматрицей матрицы А является матрица, которая состоит из невычеркнутых элементов первоначальной матрицы.

Операции над матрицами:

· Транспонирование – переход от матрицы А к матрице А^Т , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

· Сложение матриц. Они должны быть одинаковой размерности и одноимённые элементы складываются.

· Умножение матриц на число.

· Вычитание матриц. А-В=А=(-1)В

· Умножение матриц. Правило умножения: Произведением матриц АВ называется такая матрица С каждый элемент которой равен сумме произведений элементов итой строки матрицы А на элементы житого столбца матрицы В.

Деления в матрицах нет!

Свойства операций:

· А+В=В+А

· А+(В+С)=(А+В)+С

· А=ВÞА+С=В+С

· a*А=А*a

· a*(b*А)= (a*b)*А

· a*(А+В)= a*А+a*В

· А^Т *В=А*В^Т

· А^Т *(В+С)= А^Т *В+ А^Т *С

· А*Е(единичная матрица)=А или Е*А=А

· А*(В+С)=А*В+А*С

· a*(А*В)= (a*А)*В=А*(a*В)

· А*(В*С)=(А*В)*С главное порядок

 

Понятие определителя квадратной матрицы порядка n. Свойства определителей. Методы вычисления определителей. Примеры.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Вырожденная матрица – определитель = 0

Невырожденная матрица – определитель ≠ 0

Определитель матрицы первого порядка = элементу этой матрицы.

Определитель матрицы второго порядка, называется число которое вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка, называется число которое вычисляется по формуле (правило треугольника или правило Саррюса):

 

Определители n-го порядка

 

 

Теорема: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

 

Это метод вычисления определителей, и его называют метод разложения по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца.

Определитель диагональной матрицы = произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей:

· Если какая-нибудь строка (столбец) состоит только из нулей, то её определитель равен нулю.

· Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то и весь определитель умножается на число.

· При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

· При перестановке двух строк или столбцов матрицы, её определитель меняет знак на противоположный.

· Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки или столбца, то её определитель будет равен нулю.

· Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель будет равен нулю.

· Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраическое дополнение элементов другой строки или столбца этой матрицы равна нулю.

· Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки или столбца матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженное на одно и тоже число. Получаем нули.

· Определитель произведения двух матриц равен произведению двух определителей.

Определение обратной матрицы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы (на примере).

Обратная матрица - такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

А*А-¹=А-¹*А=Е

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

 

 

Теорема:

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

 

 

Определение ранга матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений.

Рангматрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Вырожденная матрица – определитель = 0

Невырожденная матрица – определитель ≠ 0

Матричная запись системы линейных уравнений:

AX = B, где