Резонанс напряжений в цепи, состоящей из последовательно включеных катушки индуктивности и конденсатора

Рассмотрим примеры такого анализа в предположении, что величины сопротивления, емкости и индуктивности не изменяются во времени и не зависят от приложенного напряжения и токов (см. Рис.2.2.).

 

 

 

 

Рис.2.2.Электрическая схема последовательно включенных r-L-C – элементов.

Процессы, происходящие в исследуемой цепи (в соответствии со вторым законом Кирхгофа) описываются (при постоянстве величин элементов во времени и независимости их от величины протекающего тока) линейным интегрально-дифференциальным уравнением:

u(t)= r i(t) +L d i (t)/dt+ 1/C ∫ i(t) dt, (2.31.)

где u(t)- переменное напряжение, подаваемое от источника на колебательный контур,

i(t)- переменный ток, протекающий в цепи,

L- индуктивность,

r -активное сопротивление катушки индуктивности,

С- емкость конденсатора.

Сопротивление (r), индуктивность (L) и емкость (C) образуют колебательный контур, в котором возможен резонанс напряжений. Термин «резонанс напряжения» подразумевает, что при равенстве Х_l=Хc, переменные напряжения на элементах контура L и C увеличивается в Q раз по сравнению с напряжением подаваемым от источника на контур. Под величиной Q понимается добротность контура, равная Q =Хс/r.

При принятых предположениях уравнение (2.31.) может быть представлено в следующем виде:

u(t) = i(t)* {r+ j[X_l + Xc]}. (2.32.)

Откуда следует выражение для комплексного сопротивления контура

Z =r+j{X_l–Xc}.

При резонансе напряжений, когда Х_l=Хс, Z =r, то есть сопротивление контура оказывается активным, а ток, протекающий через контур, достигает максимальной величины, равной i(t) _макс= u(t)/r.

В данном случае построение векторной диаграммы надо начинать с общего для цепи вектора тока (Ỉ), затем строятся векторы напряжений. При последовательном соединении катушки индуктивности и емкости общее реактивное сопротивление цепи X равно алгебраической разности ин­дуктивного и емкостного сопротивлений Xl и Хc. Приложенное к такой цепи напряжение можно представить в виде векторной суммы вектора падения напряжения на активном сопротивлении (Ur), совпадающего по фазе с вектором тока; вектора падения напряжения на индуктивности (U_L), опережающего ток по фазе на угол 90° и вектора падения напряжения на емкости (Uc), отстающего по фазе от вектора тока на угол 90°.При этом возможны следующие случаи:

а) Индуктивное сопротивление больше емкостного (Х_l >Х_С). В этом случае входное напряжение будет опережать ток по фазе на угол φ (см. рис. 2.3.).

б) Емкостное сопротивление больше индуктивного (Х_l<Х_с). При этом ток опережает напряжение на угол φ. Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рис. 2.4.

 

 

Рис. 2.3 Рис. 2.4

в). Индуктивное сопротивление равно емкостному (Х_L=Xс). Соответственно полное реактивное сопротивление цепи (Х=X_L-Xc) равно нулю, а полное сопротивление цепи Z= r, т.е. достигает своего минимального значения. При этом ток будет по фазе совпадать с напряжением, т.е. угол φ=0.Векторная диаграмма токов и напряжений для этого случая приведена на рис.2.5.

 

 

Рис.2.5.Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений.

 

 

Явление резонанса напряжений происходит также в кварцевых резонаторах, которые широко используются в автогенераторах колебаний.