Основные логические функции двух аргументов: операции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Таблицы истинности

Логическими сообщениями называются такие, истинность или ложность которых может быть оценена однозначно. Математически логические сообщения описываются с помощью логических функций, которые могут принимать только два значения, обозначаемые символами:

§ «0» - логический ноль

§ «1» - логическая единица

Аргументы логических функций тоже могут принимать только два значения. Если число аргументов n, то число логических сочетаний аргументов(наборов) 2ⁿ, а число различных функций — .

Логические функции одного и двух аргументов называются элементарными.

Отдельные цифры кода называют битами, а кодовое слово длиной 8 бит называют байтом.

– операция НЕ, логическое отрицание, или инверсия

- операция ИЛИ, логическое сложение, или дизъюнкция

- операция И, логическое умножение, или конъюнкция

- операция ИЛИ-НЕ, отрицание дизъюнкции, или функция Пирса

– операция И-НЕ, отрицание конъюнкции, или функция Шеффера

Таблица истинности функций НЕ, ИЛИ, И двух аргументов:

Как видно из диаграмм, счетчики могут выполнять функции делителей частоты на целую степень двух, т.е. устройств, формирующих из импульсной последовательности с частотой f_вх последовательности на выходе каждого триггера с частотой в два раза меньше, чем у предыдущего.

Аналогично суммирующему строится счетчик на вычитание. Для этого на счетный вход каждого последующего триггера подается сигнал с инверсного выхода предыдущего. Счетчик, способный выполнять функции сложения и вычитания, называется реверсивным.

Условное обозначение:

СТ2 означает двоичный счетчик, выходы 1,2,4 – обозначения коэффициентов двоичных разрядов (2⁰=1; 2¹=2; 2²=4) соответственно Q₀Q₁Q₂; C- счетный вход; R- вход установки нуля.

 

Таблица истинности функций ИЛИ-НЕ и И-НЕ двух аргументов:

Логический элемент — это электронное устройство, реализующее логическую функцию. В них используются два способа физического представления логических «0» и «1»:

§ потенциальный;

§ импульсный.

Условные графические обозначения логических элементов:

 

Функционирование дешифратора с тремя входами описывается системой логических уравнений (булевых функций):

где x₂ – старший, а x₀ – младший разряды двоичного числа. Синтез такого дешифратора может быть выполнен, например, с помощью восьми трехвходовых элементов И и трех инверторов.

Работу дешифратора можно пояснить еще и таким образом. Десятичный эквивалент входного двоичного кода определяется номером выхода (адрес), на котором появляется сигнал «1». Так, запись x₂x₁x₀ соответствует двоичному трехразрядному коду 011; переходя к десятичной системе, получаем 011₂ = 0*2²+1*2¹+1*2⁰ = 3₁₀; на третьем выходе y₃=1.

Если на схеме вместо элементов И будут элементы И-НЕ, то получится дешифратор с инверсными входами:

Для такого дешифратора каждому входному двоичному коду соответствует сигнал «0» только на одном выходе и сигналы «1» на остальных входах.

 

 

 

Для получения результата сложения двух многоразрядных чисел в следующем (за младшим) разряде приходится суммировать уже три одноразрядных двоичных числа, так как помимо складываемых разрядов необходимо учитывать возможный перенос их младшего разряда. Простейшее цифровое устройство, позволяющее сложить три одноразрядных двоичных числа, называют полным сумматором.

Он имеет два выхода, но в отличие от полусумматора – три входа, один из которых служит для учета сигнала переноса из младшего разряда.

P(x₂x₁x₀)= P(x₁x₀)+x₂M2(x₁x₀)+x₂P(x₁x₀)

P(x₂x₁x₀)=P(x₁x₀)+x₂S(x₁x₀)

На основе полусумматора и нескольких полных сумматоров одноразрядных двоичных чисел строят схемы полных сумматоров двух многоразрядных чисел. Соединяя выходы переноса полусумматора и последующих полных сумматоров друг за другом, получаем схему многоразрядного полного сумматора с последовательным переносом.