Таким образом, мы установили меру вероятности и диапазон ее возможных значений. Вероятность появления случайного события всегда больше нуля и меньше единицы, что символически записывается следующим образом:
0 <Р(А) < 1,
где А — случайное событие. Р(А) – вероятность появления события А.
Если Р(А) = 1, то событие А точно произойдет. Пример события А: человек с наличием пульса, дыхания и мозговой активности жив.
Если Р(А) = 0, то событие А не произойдет. Пример события А: студенты университета за год не пропустят ни одной лекции.
События образуют полную группу событий, если при наличии определенных условий хотя бы одно из них появится непременно. Пример: выявление и невыявление заболевания при проведении профилактического осмотра; промах и попадание в цель при единичном выстреле по цели и т.д.
Вероятность появления какого-либо события из полной группы событий приналичии определенных условий равна 1.
События называются несовместными, если никакие два из них при наличии определенных условий не могут появиться совместно. Пример: здоровый человек, находящийся в контакте с инфекционным больным, не может одновременно заболеть и не заболеть, или заболеть и оказаться носителем инфекции и заболеть и не оказаться носителем инфекции.
Два несовместных события, образующих полную группу несовместных событий, называются противоположными событиями.
Обозначим событие, противоположное основному, той же буквой только с чертой сверху. Например: события «попадание в цель» (А) и «промах» (
) при одиночном выстреле по цели или события «заболеть» (А) и «не заболеть» () при контакте с инфекционным больным.
Если в группе событий события являются одновременно несовместными и равновозможными и образуют полную группу событий, то события называются случаями, и тогда мы имеем дело со схемой случаев.
Если какой-либо опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события можно приравнять частоте благоприятных случаев, т.е. случаев, в которых произошло данное событие.
Классическая вероятность применима к ситуациям, когда нам известно число возможных исходов определенного события А. Если обозначить через m число случаев, в которых появилось событие А, а через n — общее число случаев, в которых реализуются определенные условия, тогда вероятность появления события А вычисляется по формуле:
При этом для невозможного события 
и 
, для достоверного: 
и 
, для случайного: 
и 
.
Эта формула пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т. е. обладает симметрией возможных исходов. Большинство же интересующих нас опытов и наблюдений не сводятся к схеме случаев.
Чтобы воспользоваться классической вероятностью, необходимоиметь представление о происходящем событии и оценить количествоего исходов. Также необходимо сосчитать общее число событий в данном выборочном пространстве.
Пример. В кармане халата лежат две синих и одна красная ручки. Рассчитать вероятность извлечения красной ручки.
Решение:
Р(Акр)=1/3≈0,33
противоположное событие – извлечение синей ручки: Р(Асин)=2/3≈0,67.
Частотой, или эмпирической вероятностью, события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А (m), к общему числу опытов (n). Под опытом будем понимать реализацию определенных условий.
Обозначим частоту события через Р* и получим:
При небольшом числе опытов частота носит случайный характер и может заметно измениться от одной группы опытов к другой.
Пример. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет с первого раза? Ниже представлено количество попыток, потребовавшихся студенту по 20 дисциплинам, чтобы получить зачет: 2, 4, 3, 1, 2, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3, 2.
Решение: Поскольку результат зависит от множества причин, придется опереться на эмпирическую вероятность.
Мы можем представить табличные данные в виде распределения относительных частот (общее количество наблюдений равно 20):
| Количество попыток | Количество наблюдений | Доля |
| 1 | 3 | 3/20 = 0.15 |
| 2 | 4 | 4/20 = 0.2 |
| 3 | 8 | 8/20 = 0.4 |
| 4 | 5 | 5/20 = 0.25 |
На основании этих наблюдений следует:
· Событие А = «студент сдаст зачет с 1 раза» - вероятность Р(А) = 0.15
· Событие В = «студенту требуется более 2 попыток, чтобы получить зачет» - вероятность этого Р(В) = 0.40 + 0.25 = 0.65
Итак, частота и вероятность — тесно связанные друг с другом понятия, но существенно различные.
Закон больших чисел: когда эксперимент проводится большое число раз, эмпирическая вероятность этого процесса стремится к классической.
Чтобы продемонстрировать действие этого закона, предположим, чтотрижды подбрасывая монетку, каждый раз она выпадала «орлом» вверх. Для данного эксперимента эмпирическая вероятность выпадения орла равняется 100%. Но если подбросить монетку 100 раз, эмпирическая вероятность окажется гораздо ближе к классической вероятности в 50%.
Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Яков Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли показал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что наблюдаемая частота случайного события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности появления события в отдельном опыте.
Практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота стремится к некоторой постоянной величине, которая представляет собой вероятность появления случайного события.
Субъективная вероятность. Субъективная вероятность используется тогда, когда классическую и эмпирическую вероятности применить невозможно. В этом случае при оценке вероятности необходимо полагаться на опыт и интуицию. Примером использования субъективной вероятности может служить следующий вопрос: «Какова вероятность того, что пациент будет соблюдать предписанный режим питания?»
