Расчет порогового напряжения

Для расчета порогового напряжения рассмотрим МДП-структуру(металл—ди­электрик-полупроводник), к которой приложено напряжение и_зи (рис. 5.11, а). Такая структура представляет собой своеобразный конденсатор, одной из обкладок которого является полупроводник. При подаче на конденсатор внешнего напря­жения u_зи на его обкладках возникают электрические заряды, равные по величине и противоположные по знаку. Заряд на металлической обкладке (затворе) сосре­доточен на поверхности, примыкающей к диэлектрику, а заряд в полупроводнике распространяется на некоторое расстояние Δ вглубь полупроводниковой подложки.

Внешнее напряжение u_зи распределяется между диэлектриком и подложкой, то есть u_зи = и_п + и_д. При этом поверхность подложки, примыкающая к диэлектрику, приобретает потенциал φ_s. Если u_зи = u_пор, то потенциал поверхности φ_s = φ_пор.

Для нахождения u_пор надо по отдельности определить φ_s и u_д.

Для определения φ_пор воспользуемся соотношениями (1.48) и (1.49):

(5.32)

(5.33)

Учтем, что при подаче u_пор концентрация электронов на поверхности возрастает до значения n_s=p_p (рис. 5.11, б). При этом равновесное состояние полупроводни­ка не нарушается. Поэтому формулы (5.32) и (5.33) справедливы для расчета по­верхностных концентраций:

(5.34)

(5.35)

Здесь E_is — энергетический уровень, соответствующий середине запрещенной зоны на поверхности полупроводника.

Известно, что в равновесном состоянии положение уровня Ферми E_Fp сохраняет­ся неизменным. Следовательно, при изменении концентрации электронов и ды­рок на поверхности полупроводника должно изменяться положение уровня E_Fs. Это значит, что при увеличении n_s и уменьшении p_s должно наблюдаться искрив­ление границ энергетических зон (рис. 5.11, в) на величину q*φ_пор = E_i - E_is. Поло­жение E_is определим из условия n_s = р_р, из которого следует

Отсюда получаем

Следовательно,

(5.36)

Учтем, что положение уровня Ферми определяется соотношением (1.51):

Здесь N_a — концентрация примеси в дырочной подложке.

Следовательно,

(5.37)

Из (5.37) следует, что величина порогового потенциала зависит от концентрации примеси в подложке. Изменение потенциала подложки в приповерхностной об­ласти полупроводника, повторяющее искривление границ энергетических зон, показано на рис. 5.11, г.

Для нахождения напряжения и_д учтем, что МДП-структура является конденсато­ром, удельная емкость которого равна

где d_д — толщина диэлектрика;

έ_д — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Между обкладками конденсатора приложено напряжение и_д, которое можно вы­разить через электрический заряд на его обкладках:

Заряд Q_a представляет собой заряд ионизированных акцепторов в слое толщи­ной Δ:

Обедненный слой по своим свойствам аналогичен электронно-дырочному пере­ходу, к которому приложена разность потенциалов φ_s = φ_пор, поэтому его толщина может быть рассчитана по формуле, выведенной ранее для расчета толщины р-п -перехода:

Здесь έ_п — относительная диэлектрическая проницаемость подложки. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора оказывается равным

а напряжение на диэлектрике равно

(5.38)

Выведенные соотношения для φ_пор и и_д справедливы для идеального случая, когда при отсутствии внешнего напряжения и_зи искривление границ энергетических зон на поверхности полупроводника отсутствует. В действительности из-за на­личия поверхностного заряда Q_s, обусловленного дефектами кристаллической структуры, и контактной разности потенциалов φ_пор между затвором и подлож­кой всегда имеет место изначальное (исходное) искривление границ энергети­ческих зон на поверхности полупроводника. Поэтому при подаче на затвор на­пряжения и_зи надо сначала устранить это первоначальное искривление границ энергетических зон, а затем обеспечить такое искривление этих границ, которое необходимо для индуцирования поверхностного канала.

Если на поверхности подложки имеется поверхностный заряд Q_s, то возникаю­щее при этом искривление энергетических зон должно быть ликвидировано пу­тем подачи на затвор напряжения и_зи = -Q_s / С_yд, полярность которого противо­положна полярности заряда. Искривление энергетических зон, обусловленное контактной разностью потенциалов, должно быть ликвидировано путем подачи напряжения и_зи = - φ_МПО

Таким образом, на затвор МДП-транзистора должно быть подано пороговое на­пряжение

(5.39)

Практически значение порогового напряжения лежит в пределах от 0,5 до 3,5 В.

Расчет тока через канал

Для расчета тока воспользуемся моделью МДП-структуры (рис. 5.12), на кото­рой показаны распределение потенциала φ (х)вдоль канала и распределение от­рицательного заряда ρ (х)в канале с учетом того, что потенциал вдоль оси х изме­няется от нуля до и_си.

Поэтому напряжение между затвором и каналом изменяется вдоль оси х, то есть. При этом напряженность вертикального электрического поля в оксиде будет определяться уравнением

где d_д — толщина диэлектрика.

Плотность поверхностного заряда равна

Здесь έ_д — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Плотность объемного заряда равна

Здесь d_к (х) — толщина канала, изменяющаяся вдоль оси х.

Удельную проводимость канала на расстоянии х от истока можно выразить сле­дующим образом:

Здесь μ_ns — поверхностная подвижность электронов в канале; она примерно вдвое меньше объемной подвижности, что объясняется дополнительными механизма­ми рассеяния, связанными с близостью поверхности.

Плотность тока в канале определяется законом Ома:

Через любое сечение х в структуре протекает один и тот же ток

(5.40)

Здесь z — ширина канала.

Уравнение (5.40) приведем к виду

Проинтегрируем по всей длине канала:

Отсюда получим уравнение для тока стока i_c который равен току канала i_к:

(5.41)

Здесь

(5.42)

Полученное уравнение справедливо лишь для области значений параметров, в которой поверхностный канал существует на всем протяжении от истока до сто­ка, то есть для тех значений параметров, при которых и_зи > и_пор и и_зи - и_пор > и_си. Такой режим работы называется линейным. При малых значениях и_си, таких что

уравнение (5.41) можно приближенно представить в виде

(5.43)

То есть зависимость тока i_c от напряжения и_си оказывается линейной.

При и_зи - и_пор ≤ и_си канал МДП-транзистора перекрывается. В этом режиме элект­роны попадают из канала в сток через обедненный слой благодаря наличию в этом слое продольного электрического поля. Перекрытие канала наступает при напряжении и_нас = и_зи - и_пор = и_си, которое называется напряжением насыщения. Для рас­чета тока стока в таком режиме работы, называемом режимом насыщения, в уравнение (5.41) следуют подставить и_зи - и_пор = и_си. Тогда это уравнение примет вид

(5.44)

Из уравнения следует, что в режиме насыщения ток стока не зависит от и_си и меж­ду i_с и и_зи - и_пор существует квадратичная зависимость.